Запасы устойчивости

Рис. 3.9. К определению запасов устойчивости по фазе Δφ и по усилению

В процессе эксплуатации САУ ее параметры (коэффициенты усиления, постоянные времени) из-за из­менения внешних условий, колебаний напряжений источ­ников энергии и других причин отличаются от расчетных значений. Если не принять определенных мер, то исходная устойчивая система может стать неустойчивой. Для исключения этого явления при проектировании следует обеспечить опреде­ленные запасы устойчивости системы, которые характе­ризуют близость годографа амплитудно-фазовойхаракте­ристики разомкнутой системы W(jω) к точке с координатами (-1, j0).

Различают запас устойчивости по фазе и усилению. Запасы устойчивости определяются на двух частотах: частоте среза ω_с и критической частоте ω_кр . На частоте среза амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы |W(jω)| равна единице, а на критичес­кой частоте фазо-частотная характеристика этой системы φ(ω) принимает значение, равное -π.

Запас устойчивости по фазе Δφ показывает, насколько фазо-частотная характеристика разомкнутой системы на частоте среза ω_с отлича­ется от -π (рис. 3.9):

Δφ = π – .

Величина запаса устойчивости по усилению может быть определена на частоте ω_кр, как разность:

= 1 – |W(jω_кр)|,

либо как отношение

α = 1/ |W(jω_кр)|.

а)

Рис. 3.10. Годографы W(jω) абсолютно устойчивой (а) и условно устойчивой (б) САУ

б)

Во втором случае величиназапаса устойчивости по усилению определяет, во сколько раз необходимо увеличить коэффициент усиления, чтобы система оказалась на границе устойчивости.

Системы, годографы W(jω) ко­торых пересекают вещественную ось только справа от точки с координатами (-1, j0)(рис. 3.10, а), называют аб­солютно устойчивыми. В таких системах неустойчивость может наступить только при увеличении коэффициента усиления.

Если годограф частотной характеристики W(jω) разомкну­той системы пересекает вещественную ось и слева от точ­ки с координатами (-1, j0), то систему называют услов­но устойчивой (рис. 3.10, б). Неустойчивой такая система может быть как при увеличении, так и при уменьшении коэффициента усиления.

Для нормальной работы САУ необходимо, что­бы запас устойчивости по усилению α был не менее двух, а запас устойчивости по фа­зе – от 0,5 до 1 рад.

3.5. Оценка устойчивости по логарифмическим
амплитудно- и фазо-частотным
характеристикам

Оценку устойчивости замкнутой САУ можно осуществлять по логарифмическим амплитудно- и фазо-частотным характеристикам системы в разомкнутом состоянии: L(ω) и φ(ω). В том случае, когда годограф W(jω) не имеет точек пересечения с вещественной осью слева от точки с коор­динатами (-1, j0), для устойчивости замкнутой сис­темы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

ω_с < ω_кр.

а)

Рис. 3.11. Логарифмические амплитудно- и фазо-частотные характеристики устойчивой разомкнутой системы: а - устойчивой при замыкании; б - неустойчивой при замыкании

б)

На рис. 3.11 приведены ЛАХ и ФЧХ устойчивых разомкнутых системы, одна из которых при замыкании остается устойчивой (рис. 3.11, а), а другая – становится неустойчивой (рис. 3.11, б).

По L(ω) и φ(ω) разомкнутой системы можно определить за­пасы устойчивости: запас по фазе Δφ отсчитывают по фазо-частотной характеристике на частоте среза ω_с, а запас устойчивости по усилению ΔL равен зна­чению ЛАХ на критической частоте ω_кр, взятому с обратным знаком, т.е. ΔL = |L(ω_кр)| (см. рис. 3.11, а).

Если ω_с = ω_кр, то система находится на границе устойчивости.

Если при некотором значении коэффициента усиления (k) замкнутая система устойчива с запасом устойчивости по усилению равным ΔL, то величина критического коэффициента усиления k_кр может быть вычислена по формуле:

20lg k_кр = 20lg k + ΔL.

Для оценки устойчивости условно устойчивых САУ реальных технических систем, имеющих обычно достаточно сложную форму, также можно воспользоваться понятием перехода. При этом переходом называется пересечение графика φ(ω) с горизонтальной прямой -π, при условии, что на частоте, при которой φ(ω) = – π, ЛАХ положительна.

Правило определения знака перехода противоположно рассмотренному для W(jω): переход графика φ(ω) через уровень(- π) считается положительным, если при увеличении частоты ω пересечение этого уровня происходит снизувверх, в противном случае переход считается отрицательным. Обозначим число положительных переходов m₊ , а число отрицательных переходов m_- .

В этом случае формулировка критерия устойчивости Найквиста: система в замк­нутом состоянии становится устойчивой, если разность между числом положительных и отрицательных переходов равна m/2, т.е.

m₊ – m_- = m/2, (3.23)

где m – число правых полюсов разомкнутой системы.

Если число положительных переходов φ(ω) равно числу отрицательных, то система, устойчивая в разомкнутом состоянии , остается устойчивой при замыкании. На рис. 3.12 в качестве примера приведены логарифмические амплитудно- и фазо-частотные характеристики неустойчивой разомкнутой системы, имеющей два правых полюса . При замыкании такая система становится устойчивой, так как m₊ = 1, а m_- = 0, и условие (3.23) выполняется.

Рис. 3.12. К оценке устойчивости САУ по L(ω) и φ(ω) с использованием понятия перехода

Рекомендации для обеспечения запаса устойчивости, которые следуют из практики проектирования САУ:

· во-первых, для того чтобы в системе были обеспечены необ­ходимые запасы устойчивости, наклон ЛАХ в диапазоне частот, в котором расположена частота среза, должен быть равен -20 дБ/дек. Если в указанном частотном диапазоне наклон L(ω) равен -40 дБ/дек, обеспечить необходи­мый запас устойчивости по фазе затруднительно. При наклоне 0 дБ/дек система обладает чрезмерно большим запасом устойчивости по фа­зе и становится передемпфированной с длитель­ным переходным процессом:

· во-вторых, запас устойчиво­сти системы по фазе зависит от диапазона частот, в котором ЛАХ разомкнутой системы в области частоты среза имеет наклон -20 дБ/дек. Чем шире этот диапазон частот, тем выше запас устойчивости по фазе и наоборот.