Анализ устойчивости импульсной системы с помощью ЛАФПЧХ.

Для выполнения анализа устойчивости импульсной системы с помощью ее логарифмических ПНЧ, обратимся к простейшей структурной схеме замкнутой системы (см. рис.10) и рассмотрим, как должны выглядеть псевдочастотные ЛАФЧХ устойчивых и неустойчивых САУ. С формальной точки зрения критерий Найквиста для дискретных систем аналогичен критерию Найквиста для непрерывных систем [1] . Поэтому все рассуждения, связанные с формулировкой этого критерия в терминах ЛАФЧХ, могут быть перенесены и на дискретные системы. В частности, если разомкнутая импульсная САУ устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы в интервале псевдочастот, где ЛАФЧХ дискретной системы положительна, разность между числом положительных и отрицательных переходов ЛАФЧХ через линию равнялась нулю. При этом, как и ранее, положительным переходом считаем переход в сторону возрастания ЛАФЧХ, отрицательным - в сторону убывания ЛАФЧХ. Если передаточная функция разомкнутой системы имеет l полюсов вне единичного круга, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы в области положительности ЛАЧХ выполнялось условие

Псевдочастотные ЛАФЧХ системы, устойчивой в разомкнутом и замкнутом состояниях, показаны на рис.28, где .

Если передаточная функция разомкнутой системы имеет полюсы, лежащие на единичной окружности, то при соответствующих значениях аргумента ЛАЧХ системы стремится к бесконечности, а ЛАФЧХ изменяется скачком на величину , где r - порядок полюса.

Рис.28

Аналогичные особенности использования этого критерия характерны и для непрерывных САУ. Так как наиболее часто единичной окружности принадлежит полюс разомкнутой системы z=1 , то приведем окончательный результат для этого случая. Полюсу z=1 соответствуют w=l=0 . Так как при w=0 учитывается не вся величина скачка ЛАФЧХ , а только его половина, то при исследовании устойчивости для l=0 следует дополнить ЛАФЧХ скачком на , где r - порядок полюса z=1 .

Пусть, например Z -передаточная функция разомкнутой системы имеет полюс z=1 третьего порядка. АФЧХ и псевдочастотные ЛАФЧХ такой системы представлены на рис.29,а,б, где . Таким образом, замкнутая система будет устойчивой.

Пример. Оценим устойчивость замкнутой системы, структурная схема которой приведена на рис.30, где T=0.1 c, T₁=0.2 c, k=2.

Передаточная функция такой системы была получена ранее. Она имеет вид

или в численном выражении

Рис.29

Рис.30

Соответствующие псевдочастотные АФЧХ приведены на рис.31. Из их анализа можно заключить, что система является устойчивой. Увеличение коэффициента усиления может привести к возникновению неустойчивости системы.

Как и для непрерывных систем, для дискретных САУ можно ввести понятие запаса устойчивости по амплитуде и фазе (рис.32).

Рис.31

Запас устойчивости по амплитуде показывает, во сколько раз можно увеличить коэффициент передачи разомкнутой системы без потери устойчивости, а запас устойчивости по фазе показывает, насколько можно увеличить величину дополнительного фазового запаздывания без потери устойчивости системы.

Рис. 32