Устойчивость систем с запаздыванием

Рассмотрим устойчивость САУ, в состав кото­рой входит звено чистого запаздывания. Передаточную функцию такой системы в разомкнутом состоянии запишем в виде

W(p) = W_бз(p)∙e^-τp, (3.24)

где W_бз(p) – передаточная функция разомкнутой систе­мы без учета звена чистого запаздывания; τ – время запаздывания.

Передаточной функции (3.24) соответствуют следую­щие амплитудно- и фазо-частотные характеристики ра­зомкнутой системы:

│W(p)│ = │W_бз(p)│;

L(ω)= L_бз(ω);

φ(ω) = φ_бз(ω) – ωτ,

где L_бз(ω), φ_бз(ω) – соответственно логарифмические амплитудно- и фазо-частотная характеристики разомкнутой системы без запаздывания.

Из этих характеристик следует, что запаздывание влияет только на фазо-частотную характеристику, созда­вая дополнительный отрицательный фазовый сдвиг. Поэтому устойчивые САУ, не содержащие звеньев чистого запаздывания, мо­гут становиться неустойчивыми при включении в их состав таких звеньев.

Рассмотрим устойчивую систему с запасом устойчивости по фазе, равным Δφ. При увеличении времени запаздывания τ ЛАХ системы не изменяется, а ее фазо-частотная характеристика деформируется и перемещается вниз. Следовательно, частота среза системы остается прежней, критическая частота уменьшается, а запас устойчивости по фазе сокращается. При увеличении τ до критического значения τ_кр наступает равенство:

ω_с = ω_кр,

т.е. система оказывается на границе устойчивости. При этом φ(ω_с) = – π . Очевидно, что такому состоянию системы соответствует равенство Δφ = ω_с∙ τ_кр, откуда величина критического времени запаздывания равна

τ_кр = .

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение устойчивости САУ.

2. Сформулируйте необходимое условие устойчивости системы.

3. Поясните различие между прямым и косвенным методами оценки устойчивости.

4. Что такое критерии устойчивости? Каким образом они связаны с необходимым и достаточным условиями устойчивости?

5. Что такое граница устойчивости? Как по отношению к ней расположены полюса устойчивой системы?

6. Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица.

7. Каким образом по критерию Гурвица вычисляется критический коэффициент усиления и запас устойчивости по усилению?

8. Сформулируйте критерий устойчивости Найквиста.

9. Что такое частота среза и критическая частота? Каким образом определяются эти частоты по годографам АФХ и ЛАФЧХ?

10. Что такое запасы устойчивости? Каким образом они определяются по годографам АФХ и ЛАФЧХ?

11. Как по ЛАЧХ определяется критический коэффициент усиления?

12. Как по ЛАФЧХ определяется критическое время запаздывания?