Постановка задачи. Типы задач для ОДУ.

Известно, что с помощью дифференциальных уравнений можно описать задачи движения системы взаимодействующих материальных точек, химической кинетики, электрических цепей, и др. Конкретная прикладная задача может приводить к дифференциальному уравнению любого порядка, или к системе уравнений любого порядка. Так как любое ОДУ порядка p

u^(p)(x) = f(x, u, u^/, u^//, … u^(p+1)) заменой u^(k)(x) = y_k(x) можно свести к эквивалентной системе из p уравнений первого порядка, представленных в каноническом виде :

y^/_k(x) = y_k+1(x) для 0 ≤ k ≤ p–2 (1)

y^/_p-1(x) = f(x, y₀, y₁, … y_p–1), при этом y₀(x) ≡ u(x). (2)

Покажем такое преобразование на примере уравнения Бесселя: .

Предполагая тождественную замену y₁(x) ≡ y(x) представим систему ОДУ в следующем виде:

Аналогично произвольную систему дифференциальных уравнений любого порядка можно заменить некоторой эквивалентной системой уравнений первого порядка. Следовательно, алгоритмы численного решения достаточно реализовать для решения системы дифференциальных уравнений первого порядка.

Известно, что система p-го порядка имеет множество решений, которые в общем случае зависят от p параметров {C₁, C₂, … C_p}. Для определения значений этих параметров, т.е. для выделения единственного решения необходимо наложить p дополнительных условий на u_k(x). По способу задания условий различают три вида задач, для которых доказано существование и единственность решения. Это

1) Задача Коши. Задается координата u_k(x₀) = u_k0 начальной точки интегральной кривой в (p+1) – мерном пространстве (k = 1…p). Решение при этом требуется найти на некотором отрезке x₀ ≤ x ≤ x_max .

2) Краевая задача. Это задача отыскания частного решения системы ОДУ на отрезке a ≤ x ≤ b, в которой дополнительные условия налагаются на значения функции u_k(x) более чем в одной точке этого отрезка.

3) Задача на собственные значения. Кроме искомых функций и их производных в уравнение входят дополнительно m неизвестных параметров λ₁, λ₂, … λ_m, которые называются собственными значениями. Для единственности решения на некотором интервале необходимо задать p+m граничных условий.

В большинстве случаев необходимость численного решения систем ОДУ возникает в случае, когда аналитическое решение найти либо невозможно, либо нерационально, а приближенное решение (в виде набора интерполирующих функций) не дает требуемой точности. Численное решение системы ОДУ, в отличие от двух вышеприведенных случаев, никогда не покажет общего решения системы, так как даст только таблицу значений неизвестных функций, удовлетворяющих начальным условиям. По этим значениям можно построить графики данных функций или рассчитать для некоторого x > x₀ соотвествующие u_k(x), что обычно и требуется в физических или инженерных задачах. При этом требуется, чтобы соблюдались условия корректно поставленной задачи.