Метод Эйлера (метод ломаных).

Рассмотрим задачу Коши для уравнения первого порядка:

u^/(x) = f(x, u(x)), x₀ ≤ x ≤ x_max, u(x₀) = u₀. (3)

В окрестности точки x₀ функцию u(x) разложим в ряд Тейлора:

(4)

Идея этого и последующих методов основывается на том, что если f(x,u) имеет q непрерывных производных, то в разложении можно удержать члены вплоть до O(h^q+1), при этом стоящие в правой части производные можно найти, дифференцируя (3) требуемое число раз. В случае метода Эйлера ограничимся только двумя членами разложения.

Пусть h – малое приращение аргумента. Тогда (4) превратится в

.

Так как в соответствии с (3) u^/(x₀) = f(x₀, u₀), то .

Теперь приближенное решение в точке x₁ = x₀ + h можно вновь рассматривать как начальное условие, т.е. организуется расчет по следующей рекуррентной формуле:

(5),

где y₀ = u₀, а все y_k ­– приближенные значения искомой функции (см. рисунок). В методе Эйлера происходит движение не по интегральной кривой, а по касательной к ней. На каждом шаге касательная находится уже для новой интегральной кривой (что и дало название методу – метод ломаных), таким образом ошибка будет возрастать с отдалением x от x₀.

При приближенное решение сходится к точному равномерно с первым порядком точности. То есть, метод дает весьма низкую точность вычислений: погрешность на элементарном шаге h составляет ½ h² y^//( ½(x_k + x_k+1)), а для всей интегральной кривой порядка h¹. При h = const для оценки апостериорной погрешности может быть применена первая формула Рунге, хотя для работы метода обеспечивать равномерность шага в принципе не требуется.

Метод Эйлера легко обобщается для систем ОДУ. При этом общая схема процесса (5) может быть записана так:

(6),

где i = 1…m – число уравнений, k – номер предыдущей вычисленной точки.