Метод Рунге – Кутта - Мерсона.


Этот метод отличается от метода Рунге – Кутта четвертого порядка возможностью оценивать погрешность на каждом шаге и в зависимости от этого принимать решение об изменении шага. Один из вариантов формул:

;

Rn+1 = 0.2k4 – 0.3k3 – 0.1k5 - погрешность на каждом шаге.

 

Пусть задана максимальна погрешность . Если , h = h/2 , и n+1 цикл расчета повторяется (с точки xn, yn) c новым шагом. Если же

, h = 2h

Автоматический выбор шага позволяет значительно сократить время решения ОДУ.

Схема РКМ обобщается на системы ОДУ аналогично классической схеме Рунге – Кутта.

 

Метод Адамса.

Метод основан на аппроксимации интерполяционными полиномами правых частей ОДУ.

Пусть с помощью любого из методов, рассмотренных выше, вычислено решение заданного дифференциального уравнения в точках x1, x2, x3 (а в точке x0 решение и так известно – поставлена задача Коши). Полученные значения функции обозначим как y0, y1, y2, y3, а значения правой части дифференциального уравнения как f0, f1, f2, f3, где fk = f(xk, yk). Начиная с четвертой точки, на каждом шаге интегрирования дифференциального уравнения вычисления осуществляются по схеме

P(EC){m}E

где P – прогноз решения; Е ­– вычисление f(x,y); С – коррекция решения; m ­– количество итераций коррекции. Схемы такого типа называют «прогноз-коррекция»: это подразумевает сначала приблизительное вычисление решение по формуле низкого порядка, а затем уточнение с учетом полученной информации о поведении интегральной кривой.

Прогноз осуществляется по экстраполяционной формуле Адамса:

. (10)

Коррекция осуществляется по интерполяционной формуле Адамса:

. (11)

Вычисление осуществляется по формуле:

Количество итераций m ≤ p, где p ­– порядок используемого метода. В ходе каждой итерации решается нелинейное уравнение (11) относительно неизвестной y4 (обычно методом простых итераций).

Иногда в методе Адамса используется схеме PECE на каждом шаге процесса интегрирования, т.е. осуществляется только одна коррекция. В силу сложности вычислений метод используется только в мощных программных пакетах численного анализа. Формулы метода также легко переносятся на решение систем ОДУ первого порядка.

 



Дата добавления: 2021-09-07; просмотров: 413;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.008 сек.