Уточняющая формула Ромберга.

Метод Ромберга заключается в последовательном уточнении значения интеграла при кратном увеличении числа разбиений. В качестве базовой может быть взята формула трапеций с равномерным шагом h.

Обозначим интеграл с числом разбиений n = 1 как .

Уменьшив шаг в два раза, получим .

Если последовательно уменьшать шаг в 2ⁿ раз, получим рекуррентное соотношение для расчета .

Пусть мы вычислили четыре раза интеграл с n от 1 до 4. Представим следующий треугольник:

R(1;1)

R(2;1) R(2;2)

R(3;1) R(3;2) R(3;3)

R(4;1) R(4;2) R(4;3) R(4;4)

В первом столбце стоят значения интеграла, полученные при последовательном удвоении числа интервалов. Следующие столбцы – результаты уточнения значения интеграла по следующей рекуррентной формуле:

.

Правое нижнее значение в треугольнике – искомое уточненное значение интеграла.

Метод Симпсона.

Подинтегральная функция f(x) заменяется интерполяционным полиномом второй степени P(x) – параболой, проходящей через три узла, например, как показано на рисунке ((1) – функция, (2) ­– полином).

Рассмотрим два шага интегрирования (h = const = x_i+1 – x_i), то есть три узла x₀, x₁, x₂, через которые проведем параболу, воспользовавшись уравнением Ньютона:

.

Пусть z = x – x₀,

тогда

Теперь, воспользовавшись полученным соотношением, сосчитаем интеграл по данному интервалу:

.

В итоге .

Для равномерной сетки и четного числа шагов n формула Симпсона принимает вид:

Здесь , а в предположении непрерывности четвертой производной подинтегральной функции.

Блок-схема алгоритма метода Симпсона.