Эквипотенциальные поверхности и силовые линии электростатического поля.

Скалярное поле часто описывают с помощью “поверхностей уровня” (эквипотенциальных или изоповерхностей), которые определяются уравнением

. (1)

На эквипотенциальной поверхности, очевидно, выполняется условие

, (2)

что с учётом определения (5) предыдущего раздела и разложения вектора по направлениям осей декартовой системы координат можно переписать в векторном виде:

, (3)

где принадлежит поверхности . Из условия (3) следует, что вектор перпендикулярен любому вектору , принадлежащему поверхности , т.е. перпендикулярен элементу площади поверхности .

Если при этом вспомнить определение вектора напряжённости электростатического поля (4) предыдущего раздела, то получим утверждение, что силовые линии электростатического поля должны быть перпендикулярны соответствующим элементам площади эквипотенциальной поверхности.

Заметим, что иногда встречается обозначение

, (4)

где - вектор единичной нормали (величина безразмерная!) к поверхности в точке, в которой вычисляется вектор , ориентированный в сторону увеличения ; - обозначение координаты ( - величина, имеющая размерность длины) вдоль направления . Таким образом - вектор, направленный вдоль описанного выше направления и числено равный производной от величины по координате , т.е. вдоль направления .