Энергия взаимодействия точечных электрических зарядов в вакууме.

Рассмотрим взаимодействие двух точечных электрических зарядов и , положение которых в однородном пространстве с относительной диэлектрической проницаемостью (т.е. среда - вакуум) определено радиус-векторами и соответственно. Выражение для силы, с которой первый из зарядов действует на второй заряд, имеет вид:

(1)

Аналогичное выражение имеет место и для силы, с которой второй заряд действует на первый:

(2)

Допустим, что рассматриваемые заряды бесконечно медленно сместились из своего первоначального положения на бесконечно малые приращения радиусов-векторов и соответственно. Вычислим работу, совершаемую силами (1) и (2) на указанных перемещениях:

(3)

Если ввести обозначения , , , можно получить следующее соотношение: (4)

С учётом полученного соотношения выражение для элементарной работы dA принимает вид:

(5)

В этом выражении величина представляет собой потенциал электростатического поля в точке расположения первого заряда, образованного вторым зарядом (поле первого заряда исключено из рассмотрения!), аналогичный физический смысл имеет и величина Если в понятие «энергия электростатического поля» не включать энергию образования электрических зарядов (т.е. не рассматривать сингулярное «собственное» поле зарядов), в силу потенциальности кулоновского взаимодействия можно записать выражение для дифференциала энергии взаимодействия электрических зарядов (или условно - энергии электростатического поля)

(6)

и после соответствующего выбора произвольной постоянной получить для энергии взаимодействия электрических зарядов выражение, учитывающее «равноправие» электрических зарядов в системе (симметричная форма записи):

(7)

Заметим, что в рамках электростатики не имеет смысла вопрос, чему приписать электрическую энергию, полю или зарядам, поскольку не существует эксперимент, позволяющий однозначно решить эту задачу.

Результат (7), справедливый для случая двух зарядов в системе, можно обобщить на случай системы с произвольным числом точечных электрических зарядов:

(8)

Обобщение (8) выглядит очень правдоподобно и естественно, но поскольку ему придаётся большое значение, полезно доказать его справедливость. Сделаем это методом полной математической индукции. Для случая двух зарядов в системе оно справедливо. Считаем, что оно справедливо и для случая n-1 электрических зарядов. Последнее означает, что имеет место соотношение:

(9)

где первое слагаемое правой части описывает энергию системы n-1 зарядов, а второе слагаемое описывает энергию взаимодействия каждого из n-1 зарядов с оставшимся зарядом (с индексом n) рассматриваемой системы. В силу сделанных предположений запишем:

(10)

где волна над символом потенциала означает, что он вычисляется без учета поля заряда с индексом n. Для второго слагаемого правой части формулы (9) имеем:

(11)

Здесь символ обозначает потенциал поля, образованного зарядом с индексом n, в точке расположения заряда с индексом k, а символ - потенциал поля, образованного зарядом с индексом k, в точке расположения заряда с индексом n. При объединении выражений (10) и (11) очевидно, что

(12)

Последнее позволяет записать результат

(13)

что завершает доказательство.

2.4.10.Энергия системы распределённых по объёму электрических зарядов в вакууме.