Евклидово точечное и n – мерное пространства

Определение 1: аффинное пространство называется евклидовым точечным или просто евклидовым пространством, если связанное с ним пространство является евклидовым векторным пространством и обозначается .

Замечание 1: точки и векторы являются основными объектами пространства , а операции над ними называются основными или неопределяемыми отношениями. Природа основных объектов может быть любой, требуется лишь, чтобы основные отношения удовлетворяли аксиомам всех пяти групп. Все другие объекты и отношения определяются через основные, а при доказательствах теорем используются лишь аксиомы и ранее доказанные их следствия. Все определения и теоремы, сформулированные для пространства верны и для пространства .

Определение 2: аффинная система координат в пространстве называется прямоугольной декартовой, если её координатные векторы , , образуют ортонормированный базис, связанного с ним евклидова векторного пространства .

Теорема 1: при переходе от одной из двух прямоугольных декартовых систем координат к другой координаты произвольной точки в старой системе выражаются через её координаты в новой системе координат формулами:

(1)

где (то есть матрицы ортогональны).

Эта теорема следует из теоремы (2) §2 и теоремы (3) §10, коэффициенты и имеют прежний геометрический смысл.

Пример 2: n=2, – евклидово пространство, формулы перехода известны из аналитической геометрии и являются частным случаем формул (1):

, ,

= .

Определение 3: расстоянием от точки до точки пространства называется длина вектора и обозначается .

Пусть , в одной из прямоугольных декартовых систем координат , тогда, очевидно:

Теорема 2: для любых трёх точек , и справедливо неравенство треугольника:

(2)

□ По аксиоме треугольника из параграфа §1 имеем: или .

Так как (при это очевидно, а при следует из неравенства Коши – Буняковского, замечание (1), §10), то

, , то есть . ■

Замечание 2: очевидно, если совпадает с или , то в формуле (2) имеет место знак равенства. Если же не совпадает ни с , ни с , то равенство выполняется тогда и только тогда, когда лежит на прямой между точками и .

Определение 4: множество точек пространства , расстояния от которых до данной точки равны , называется гиперсферой с центром и радиусом .

Если , а - точка гиперсферы, то имеем и

(3)

Определение 5: множество точек пространства , расстояния от которых до данной точки не превышает , называется n – мерным шаром. Очевидно, n – мерный шар задаётся в пространстве неравенством:

(4)

Примеры (частные случаи):

1)n = 1,

- прямая,

пара точек отрезок длины

2)n = 2, E - плоскость:

(x - c ) + (x - c ) = R - окружность (x - c ) + (x - c ) R - круг

3)n=3, E :

- сфера - шар

Определение 6: r-мерный параллелепипед пространства E называется r-мерный кубом, если он натянут на точку А и единичные попарно ортогональные векторы:

= t + t +…+ t , 1 r n,

0 t 1, i =1,2,3,…r, M E , =1, , i j.

Примеры (частные случаи):

1) r =1 - отрезок длины 1:

A B AB=1

2) r = 2 - квадрат со стороной 1:

.

3) r =8 – куб с ребром 1:

Георг Кантор (1872) создал теорию точечных множеств в евклидовом пространстве по аналогии с теорией функций действительного переменного. Понятие верхнего и нижнего предела точечных множеств возникло по аналогии с понятием верхнего и нижнего предела функций. Кантор опирался также на теорию функций комплексного переменного, сформулированную Риманом. Кантор сформулировал в теории множеств операцию включения одного множества в другое по аналогии с операцией делимости одного числового поля на другое, операцию пересечения множеств – по аналогии с нахождением наибольшего общего делителя двух числовых полей, а операцию суммирования двух множеств – по аналогии с определением наименьшего общего кратного. Кроме того, Кантор использовал аналогию с теорией тригонометрических рядов. Элементы теории множеств проглядывали сквозь проблемы о множестве точек, в которых сходится или расходится тригонометрический ряд данной функции (Ф.А.Медведев, «Очерки истории теории функций действительного переменного», 1975).