Множества мощности континуума и выше

Другим важным примером бесконечного несчетного множества является множество вещественных чисел R. Дадим одно из возможных определений вещественного числа с помощью сечений Дедекинда.

Рассмотрим разбиение множества всех рациональных чисел на два непустых подмножества А и В. Будем называть это разбиение сечением и обозначать А|В, если выполняются условия:

1⁰. Каждое рациональное число попадает в одно и только одно из множеств А или В.

2⁰. Для всех xÎA и yÎB имеет место соотношение y > x.

Назовем А нижним классом сечения, В - верхним классом.

Существуют сечения трех типов.

1. Сечение, у которого в нижнем классе нет максимального числа, а в верхнем классе есть минимальное число, назовем сечением первого типа.

2. Сечение, у которого в нижнем классе есть максимальный элемент, а в верхнем классе нет минимального число, назовем сечением второго типа.

3. Сечение, у которого в нижнем классе нет максимального элемента, а в верхнем классе - минимального, назовем сечением третьего типа.

Примеры сечений:

1) А ={ x | x<1 }; B ={ x | x³1 } - сечение 1-го типа;

2) А ={ x | x£1 }; B ={ x | x>1 } - сечение 2-го типа;

3) А ={ x | x³£2 }; B ={ x | x³ >2 } - сечение 3-го типа.

Докажем что в третьем примере нижний класс не содержит максимальный элемент. Для этого покажем, что

" аÎA $ n>0 : (a + 1/n)³ < 2.

Так как (a+1/n)³<a³ +(3a²+3a+1)/n, то достаточно выбрать такое n, чтобы n>3a²/(2-a³). Иными словами, какое бы рациональное а из A мы ни выбрали, в классе А всегда можно найти число больше его.

Аналогично можно доказать, что в этом примере в верхнем классе нет минимального элемента.

Сечения типа 1 и 2 определяют рациональное число r. Для сечения 1 типа это число - наименьшее в верхнем классе, для сечения 2 типа - наибольшее в нижнем классе. Сечение 3 типа не определяет никакого рационального числа, так как предположение противного противоречит определению сечения.

Будем говорить, что сечение 3-го типа определяет иррациональное число a, если для любых рациональных чисел xÎA и yÎB выполняется неравенство x<a<y. Иррациональные числа - это множество чисел, каждое из которых определяется некоторым сечением 3-го типа. Множество действительных (вещественных) чисел – это множество рациональных и иррациональных чисел.

Для мощности множества вещественных чисел R есть специальное обозначение - с. Любое множество имеющее такую мощность называется континуумом (от английского continue - продолжаться).

Введение понятия мощность континуума порождает два вопроса.

1. Существует ли множество мощностью больше чем с?

2. Существует ли множество промежуточной мощности между счетным и континуумом?

На первый взгляд множеством мощности больше с является любая плоская фигура, например, квадрат. Однако, это не так и справедлива

ТЕОРЕМА. Единичный квадрат на плоскости имеет мощность равную с.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Построим отображение f точек квадрата на его сторону. Возьмем любую точку внутри квадрата с координатами (x,y). Пусть в десятичном представлении x=0,a₁a₂a₃..., а y=0,b₁b₂b₃... . Образуем число z=f(x,y)= =0,a₁b₁a₂b₂a₃b₃..., которое является координатой точки на стороне квадрата. Таким образом, мы отобразим точки квадрата на его сторону. Ясно что это отображение инъективно, т.е. если мы берем точки А=(x₁, y₁) и B=(x₂, y₂), такие, что А¹В, и определим z_A=f(A), z_B=f(B), то получим z_A¹z_B, т.е. две разные точки A и B квадрата отображаются в две разные точки на отрезке прямой. Действительно, пусть А¹В. Значит x₁¹x₂ или y₁¹y₂, а раз так то эти числа отличаются хотя бы одним десятичным знаком, и значит z_A¹z_B.

Инъективность означает, что точек в квадрате не больше, чем на отрезке. С другой стороны, их не может быть меньше, поскольку отрезок является подмножеством квадрата. Следовательно, построенное отображение f взаимно-однозначно.

Тем не менее множества мощности выше континуума существуют, более того, справедлива

ТЕОРЕМА. Для любого множества А существует множество В большей мощности.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть имеется множество А. Рассмотрим множество В, являющееся множеством всех функций, определенных в точках множества А и равных 0 или 1 в этих точках. Покажем, что мощность множества В больше мощности А.

Рассмотрим на множестве А функцию из B, определенную по правилу

где aÎА. Поставим каждой точке аÎА в соответствие функция f_a(x)ÎВ, причем, это отображение является взаимно однозначным. Очевидно, что построенное множество функций не исчерпывает всех возможных функций из В и {f_a(x)}ÌВ, т.е. мы определили взаимно однозначное отображение всего А на часть множества В. Следовательно, мощность В не меньше мощности А.

Докажем, что мощность В не равна мощности А. Это эквивалентно тому, что не существует взаимно однозначного отображения А на все В. Предположим противное, что существует биективное отображение j : А ® В, которое каждому аÎА ставит в соответствие элемент bÎВ и каждой функции из B - элемент множества A. Обозначим j(a) = f^(a)(x), и рассмотрим функцию

g(x) = 1 – f^(x)(x).

По свойствам элементов множества В имеем, что значение f^(x)(x) равно 0 или 1, тогда это свойство выполнено и для функции g(x). Следовательно, g(x)ÎВ. Значит, по предположению, существует такая точка bÎА, что ей однозначно соответствует g(x), т.е. g(x)=f^(b)(x). Возьмем х=b, тогда получим

1 – f^(b)(b) = f^(b)(b).

Отсюда f^(b)(b)=1/2, что противоречит условию принадлежности функции f^(b)(x) множеству В. Поэтому, такого отображения j не существует. Значит, мощность В строго больше мощности А.

Из теоремы следует, что множества самой большой мощности не существует.

Эквивалентный способ построения множества большей мощности получим, если определим B как множество, элементами которого являются всевозможные подмножества множества A. Тогда m(B)= 2^|A|.

Множество, мощность которого равна 2^c, называется множеством мощности гиперконтинуума.

Что касается проблемы существования множества промежуточной мощности, то оказалось, что это утверждение невозможно доказать на основе аксиом теории множеств, но оно и не противоречит им.

Кольца и алгебры

Определение. Пусть -- произвольное множество, на котором определены две бинарные операции: сложение и умножение . Множество называется кольцом, если

1) относительно сложения является абелевой группой;

2) операция умножения дистрибутивна, т.е. для любых справедливы равенства и .

Определение. Если операция умножения ассоциативна, т.е. для любых справедливо равенство , то кольцо называется ассоциативным.

Если операция умножения коммутативна, т.е. для любых справедливо равенство , то кольцо называется коммутативным.

Если существует единица, т.е. такой элемент , что для любого справедливо равенство , то кольцо называется кольцом с единицей.

Коммутативное, ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент имеет обратный, называется полем.

Определение. Пусть -- кольцо и линейное пространство над полем . Тогда называется алгеброй, если для любых и .

Пример. Алгебра квадратных матриц над полем.

Алгебра многочленов над полем . Тогда -- алгебра над . Число называется степенью расширения (т.е. это размерность над ).

Определение. Пусть -- кольца. Тогда отображение называется гомоморфизмом колец, если является гомоморфизмом абелевых групп и . Если биективно, то называется изоморфизмом.

Определение. Пусть -- алгебры. Тогда отображение называетсягомоморфизмом алгебр, если является гомоморфизмом колец и линейным отображением. Если биективно, то называется изоморфизмом.

Пример. Пусть -- кольцо многочленов от одной переменной. Выберем и зададим гомоморфизм , положив .

Пусть -- подполе в , и пусть . Тогда продолжим до , положив .

Например, если , и . Тогда и . Гомоморфизм является эпиморфизмом.

Определение. Ядро гомоморфизма колец -- это ядро аддитивной группы, т.е. .

Определение. Подмножество кольца называется подкольцом, если является подгруппой в аддитивной группе кольца и из условия следует .

Определение. Подмножество алгебры называется подалгеброй, если является подкольцом в кольце алгебры и из условия следует для любого .

Определение. Подмножество поля называется подполем, если является подкольцом с единицей в кольце поля и из условия следует .

Определение. Подмножество кольца называется идеалом, если
является подгруппой в аддитивной группе кольца ;
для любых и имеет место (правый идеал) или (левый идеал).

Определение. Идеал порожденный одним элементом называется главным.

Пример. Рассмотрим кольцо . Тогда -- идеал.

Пусть -- множество многочленов делящихся на . Тогда -- идеал.

Утверждение. В кольце матриц множество

является правым идеалом и не является левым.

Теорема. Пусть -- гомоморфизм колец. Тогда ядро является идеалом в , а образ -- подкольцом в .

Определение. Пусть , т.е. -- идеал в . Факторкольцо по идеалу -- это факторгруппа аддитивной группы кольца с операцией умножения для любых .

Проверим корректность умножения. Пусть , т.е. . Тогда .

Пример. Кольцо вычетов .

Утверждение. Если -- алгебра с единицей над полем и -- идеал в кольце алгебры , то -- подпространство линейного пространства алгебры .

Пусть -- кольцо и . Рассмотрим естественный гомоморфизм групп , . Этот гомоморфизм является гомоморфизмом колец, так как . Если к тому же является алгеброй, то является линейным отображением и поэтому гомоморфизмом алгебр. Заметим, что .

Теорема [о гомоморфизмах.] Если -- гомоморфизм колец, то .

Пример. Рассмотрим эпиморфизм , . Тогда -- все многочлены делящиеся на и .

Пример. , , .

Теорема. Для всякого неприводимого над полем многочлена степени больше существует расширение поля , в котором многочлен имеет корень.

Определение. Простое кольцо -- это ненулевое кольцо, в котором нет идеалов кроме нулевого и всего кольца.

Утверждение. В поле нет идеалов кроме нулевого и всего поля.

Определение. Ассоциативное кольцо с единицей, в котором всякий ненулевой элемент обратим, называется телом. Алгебра, являющаяся телом, называется алгеброй с делением.

В доказательстве утверждения коммутативность не используется, то мы сразу получаем

Утверждение. Любое тело является простым кольцом.

Теорема. Кольцо (алгебра) всех матриц порядка над полем является простым.

Определение. Рассмотрим -ех мерное линейное пространство над с базисом , т.е. имеет вид , .

В этом пространстве определено умножение базисных векторов следующим образом , , , , , , . Следовательно, определено умножение элементов . Легко проверяется, что это умножение ассоциативно. Таким образом, является ассоциативной -ех мерной алгеброй над с единицей. Элемент называется сопряженным к элементу , причем . Получаем, что каждый ненулевой элемент имеет обратный .

Полученная алгебра с делением называется алгеброй кватернионов.

Пусть -- конечномерная ассоциативная алгебра с над .

Рассмотрим отображение , . Отображение является инъективным гомоморфизмом, так как , и если , то , т.е. ( ). Таким образом -- подалгебра (подполе) изоморфное полю (так как ).

Центр алгебры -- это множество . Центр является подалгеброй (проверяется на прямую). Подалгебра содержится в . Действительно, для любых и имеем и .

Пусть -- подполе в ( ). Тогда -- (левое) линейное пространство над , но может не быть алгеброй над , так как может быть нарушена аксиома , если не содержится в центре . Если -- коммутативная алгебра, то будет алгеброй над любым подполем.

Пример. Имеем . Здесь является алгеброй над , но не является над .

Пусть -- конечномерная ассоциативная алгебра с над , и -- произвольный элемент. Рассмотрим линейный оператор , (аксиомы оператора проверяются на прямую). Оператор является -линейным для любого подполя . Пусть -- минимальный многочлен для линейного оператора . Так , то для любого многочлена . Следовательно, является нулевым оператором тогда и только тогда, когда для любого (в частности для ), т.е. .

Лемма. Если -- алгебра над и минимальный многочлен для (для оператора , ) имеет степень , то .

Если -- алгебра с делением, то минимальный многочлен для (для оператора ) неприводимый над полем .

Теорема. Конечномерная (коммутативная) алгебра с делением над одномерна (и совпадает с ).

Конечномерная коммутативная алгебра с делением над или одномерна (и совпадает с ) или двумерно (и изоморфна ).

Лемма. Пусть -- подмножество в алгебре с делением над , причем элементы из попарно перестановочны. Тогда и содержатся в некотором подполе алгебры .

Теорема [Фробениус.] Всякая конечномерная алгебра с делением над изоморфна одной из трех .