Геометрические характеристики плоских сечений и их определение

При решении ряда задач, связанных с прочностными и деформационными расчётами сварных соединений и элементов конструкций, возникает необходимость определения основных геометрических характеристик их поперечных сечений (ГХС). К ним относятся площади поперечных сечений, статические моменты и моменты инерции.

Эти характеристики достаточно часто используются при расчёте стержней как простых форм сечений (круг, прямоугольник, треугольник и т.п.), так и сложных видов сечений (профильное сечение, составное сечение и др.). Определение ГХС требуется в задачах изгиба, внеценренного растяжения-сжатия, кручения и устойчивости.

Алгоритм расчёта ГХС сложного (составного) вида предусматривает здесь использование двух подходов: традиционного [5, 7, 8] (путём разбиения сложного сечения на ряд простых и последующего определения всех необходимых параметров простых фигур) и нетрадиционного, основывающегося на использовании компьютерной техники: задание координат точек контура всего сечения во вспомогательной системе координат с последующим обходом контура [9]. Каждый из этих способов расчёта имеет свои достоинства и недостатки и выбор того или иного из них (или их комбинации) остаётся за расчетчиком.

Рассмотрим вначале методику определения ГХС по первому способу.

Пусть задано произвольное сечение бруса F, связанное с начальными координатными осями и (рис. 4.1). Выделим элемент площади с координатами y, z. По аналогии с выражением для момента силы относительно какой-либо оси можно составить выражение и для момента площади, которое называется статическим моментом площади.

Тогда статические моменты элемента площади относительно осей и будут представлены зависимостями:

Просуммировав такие произведения по всей площади фигуры, получим соответственно статические моменты относительно осей и :

(4.1)

Статические моменты измеряются в мм³, см³, м^3.

Осевыми моментами инерции площади называются выражения вида:

(4.2)

Интеграл вида

, (4.3)

называется центробежным моментом инерции площади относительно осей y и z. В зависимости от положения осей центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Полярный момент инерции определяется по зависимости

. (4.4)

Размерность всех величин в формулах (4.2)…(4.4) мм⁴, см⁴, м^2.

Пусть и – координаты центра тяжести (ЦТ) фигуры F. Продолжая аналогию с моментами сил можно написать следующие выражения:

(4.5)

Из формул (4.5) можно найти координаты центра тяжести фигуры

(4.6)

Для многих поперечных сечений простых видов (прямоугольник, треугольник, круг, кольцо, трапеция и т.д.) статические моменты и координаты центров тяжести определены и приведены в справочниках (например, в [2]).

Статический момент площади сложной фигуры, которую можно разбить на простые части (рис. 4.2), определяется как сумма статических моментов каждой части относительно рассматриваемой оси:

, (4.7)

где – площадь -той простой фигуры;

и – координаты центра тяжести -той простой фигуры.

По формулам (4.6) и (4.7) легко найти координаты центра тяжести сложной фигуры:

(4.8)

Оси yz, проведённые через общий центр тяжести фигуры. С (рис. 4.2б) называются центральными осями. Тогда момент инерции составного сечения относительно центральных осей y и z может быть найден как сумма моментов инерции простых фигур относительно этих же осей:

(4.9)

Центробежный и полярный моменты инерции определим по формулам:

(4.10)

Входящие в (4.9) и (4.10) моменты инерции простых фигур рассчитываются по известным зависимостям:

(4.11)

где , , – моменты инерции и центробежный момент простых фигур относительно собственных осей;

- расстояние между центрами тяжести составного сечения и каждой фигуры.

Эти расстояния в центральной системе координат yz можно выразить так (см. рис. 4.2б):

. (4.12)

Ранее упоминалось, что при изменении положения координатных осей центробежный момент (см. формулу 1.3) может принимать различные значения, включая ноль. Те оси, относительно которых центробежный момент инерции обращается в нуль, называются главными осями инерции. Поворачивая центральные оси yz (рис. 4.2б) на некоторый угол можно получить экстремальные значения моментов инерции. Такие оси называются главными центральными осями и обозначаются буквами U и V .

Угол можно найти по зависимости:

, град. (4.13)

Полученные из формулы (4.13) два значения угла отличаются друг от друга на 90^о. Меньший из этих углов по абсолютной величине не превышает . Положительный угол откладывается от горизонтальной оси y против часовой стрелки. Проведенную под углом (положительным или отрицательным) главную ось обозначают буквой U (см. рис 4.3).

На рис 4.4 приведены некоторые примеры обозначения главных центральных осей в соответствии с указанным правилом. Начальные оси обозначены буквами y и z.

Значения главных моментов инерции можно определить по формулам:

(4.14)

Напомним, что главные моменты инерции обладают свойством экстремальности.

Для выполнения прочностных расчётов различных элементов необходимо определять осевые и полярный момент сопротивления:

, (4.15)

где - координаты наиболее удалённых точек контура рассчитываемого сечения (см. рис. 4.2б);

- наибольший радиус-вектор точки контура составного сечения.

В некоторых случаях определение вышеупомянутых параметров ГХС требует достаточно громоздких вычислений. Так, например, сложное сечение с внутренней полостью, изображённое на рис. 4.5 пришлось бы разбивать на большое число простых фигур с последующим определением всех промежуточных величин (площадей, моментов инерции простых фигур и т.д.).

Для таких видов сечений удобнее использовать второй метод – метод обхода контура по точкам с заданными координатами во вспомогательной системе координат y₀z₀ [3].

Нумерация точек контура начинается с любой (рис. 4.5) и перемещается вдоль контура по часовой стрелке. При наличии внутренней полости сечения необходимо войти по прямой к точке внутреннего контура и обойти все его пронумерованные точки против часовой стрелки с последующим выходом на наружный контур по той же прямой. Криволинейные очертания контура апроксимируются ломаной линией с необходимой точностью.

Геометрические характеристики сложного сечения, при определении их через координаты точек контура, рассчитываются по зависимостям:

, (4.16)

где ; при при ;

N – число точек контура.

Все остальные параметры ГХС определяются по ранее рассмотренным соотношениям. Заметим, что расчеты по второму методу удобнее вести на компьютере.

Правильность расчетов по любому из двух вариантов проверяется такими проверочными условиями:

(4.17)