Построение эпюр внутренних сил в сечениях типовых элементов конструкций

<13 14 151617 18 19 >

При всем разнообразии конструктивных форм, встречающихся в сооружениях и машинах, их можно свести к комбинации стержневых (балки, стойки, валы) и листовых (пластинки, оболочки) элементов (рис. 4.16).

Наиболее распространенными типовыми элементами конструкций являются балки. Балками называют прямолинейные стержни, работающие на изгиб.

Рисунок 4.16 – Основные типы элементов конструкций: стержень (а); пластина (б); оболочка (в)

При расчете балку принято заменять осью (рис. 4.17), а опорные устройства балок схематизируются одной из трех видов опор: шарнирно-неподвижная (опора А), шарнирно-подвижная (опора В) и защемление (заделка).

Для построения эпюр внутренних сил необходимо знать все внешние нагрузки, включая реакции, которые могут быть определены по формулам (4.13).

При определении опорных реакций распределенную нагрузку заменяют равнодействующей. Если в результате вычисления какая-либо реакция окажется отрицательной, то это указывает на неверный выбор направления ее и оно должно быть изменено[1].

Поперечной силой ( )в данном сечении называется сумма проекций всех внешних сил, находящихся по одну сторону от сечения, на нормаль к оси балки.

Изгибающим моментом (М_х)в данном сечении называется сумма моментов всех внешних сил, находящихся по одну сторону от сечения, относительно центра тяжести этого сечения.

При построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов М_х принимают следующие правила знаков:

– изгибающий момент М_х в сечении положителен, если он вызывает сжатие в верхних волокнах балки.

– поперечная сила в сечении положительна, если ее векторы стремятся вращать части рассеченной балки по часовой стрелке; Эти правила знаков, отражаются на рис. 4.18.

Изгибающий момент, поперечная сила и интенсивность распределенной нагрузки связаны между собой следующими зависимостями (по Д. И. Журавскому):

. (4.16)

Эти соотношения называют дифференциальными зависимостями при изгибе. Они позволяют установить некоторые правила построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов (см. таблицу 4.5):

Таблица 4.5 – Построение эпюр по характерным точкам

1. В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы (включая и опорные реакции), на эпюре поперечных сил будут скачки.

2. В сечениях, где приложены сосредоточенные моменты, эпюра поперечных сил не меняется, а на эпюре М_х наблюдается скачок на величину сосредоточенных моментов.

3. На тех участках, где нет распределенной нагрузки, эпюра ограничена прямыми, параллельными оси, а эпюра М_х – наклонными прямыми.

2. Если на участке действует равномерно распределенная нагрузка, то эпюра М_х ограничена квадратичной параболой, а эпюра Q_x –, наклонными прямыми. При этом в сечениях, где меняет знак ( ), изгибающий момент достигает максимума или минимума.

Пример 4.4.

Для заданных размеров балки и схемы приложения нагрузок (рис. 4.17), построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов М.

Исходные данные:

м; м; м; м; м; м;

кНм; кН; кН/м; кН.

Р е ш е н и е.

1. Определение опорных реакций.

Направим реакции R_A, и R_B вверх. Составим уравнение моментов относительно точки А:

Отсюда, подставив числовые значения, находим R_B:

кН.

Составим уравнение моментов относительно точки В:

Откуда, подставив числовые значения, находим R_А(кН):

Для проверки правильности определения реакций составляем сумму проекций всех сил на ось y:

Таким образом, реакции определены верно.

Обратим внимание, что реакция R_Аполучилась отрицательной, поэтому, в дальнейшем необходимо изменить на рисунке её направление на обратное (см. рис. 4.19) и считать эту реакцию положительной. С учетом сказанного принимаем R_A = 16,12 кН.

2. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Для построения эпюр Q и M используем метод сечений.

Балка имеет шесть участков, поэтому будем рассматривать условие равновесия отсекаемой части балки поочередно на каждом участке. Напомним, что поперечная сила в произвольном поперечном сечении бруса с абсциссой х равна алгебраической сумме проекций на ось y всех внешних сил, приложенных к его отсеченной части.

Изгибающий момент в этом же сечении, равен алгебраической сумме моментов всех сил, приложенных к отсеченной части, относительно той точки оси бруса, через которую проходит рассматриваемое сечение (точка С на рисунке 4.19).

На первом участке для любого сечения х (0 ≤ x ≤ а) запишем:

При

При кНм.

Здесь бесконечно малая величина, позволяющая определить значение момента в сечении, расположенном весьма близко к границе I – го участка. Это необходимо сделать, чтобы при переходе через границу участка обнаружить скачек момента, поскольку в сечении приложен внешний сосредоточенный момент М. Из последнего выражения видно, что не зависит от х, т.е. она постоянная на длине участка, а являетсялинейной функцией х , поэтому на первом участке построить эпюры достаточно просто.

На втором участке (см. рис. 4.19) для любого сечения х (а ≤ x ≤ b₁) запишем:

кН;

кНм;

кНм.

Рассмотрим еще один участок – четвертый (см. рис. 4.19) на котором имеется распределенная нагрузка q. Поперечная сила в сечении х от действия только распределенной нагрузки численно равна равнодействующей распределенной нагрузки на длине , т.е. . Изгибающий момент в том же сечении от q равен моменту их равнодействующей , линия действия которой проходит посредине отрезка , т.е.

С учетом сказанного составим полное уравнение равновесия для отсеченной части при расположении сечения с абсциссой х на четвертом участке ( ):

кН,

кНм.

Анализ последнего выражения показывает, что поперечная силалинейно зависит от х, поэтому для построения эпюры достаточно найти ее ординаты в двух граничных сечениях: x = c и x = d.

При кН; при кН.

В тоже время, изгибающий момент в пределах длины четвертого участка, изменяется по квадратичному закону, поэтому для построения эпюры следует определить три-четыре её ординаты. Изгибающие моменты на границах участка:

при кНм;

при кНм.

Для приближенного построения параболы необходимо определить ординату эпюры М_х, соответствующую экстремальной величине М. Для этого нужно найти координату сечения, в котором Q = 0. В соответствии с полученными выше формулами запишем:

откуда

м.

тогда

кНм.

Порядок построения эпюр на других участках выполняется по таким же правилам.

На рисунке 4.20 показаны эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для рассматриваемой балки.

При построении эпюр внутренних усилий в колоннах следует учесть, что помимо поперечных сил Q_x и изгибающих моментов М_хв сечениях колонны будут действовать и продольные силы. В данном поперечном сечении продольная сила равна сумме проекций всех сил, расположенных по одну сторону от этого сечения, на ось бруса (на нормаль к сечению).

Продольная сила, направленная от сечения (растяжение), считается положительной, а направленная к сечению (сжатие) – отрицательной (рис. 4.21). В том случае, когда направление продольной силы заранее неизвестно, ее направляют от сечения. Если из условия равновесия ( ) продольная сила получится со знаком плюс, стержень в данном случае испытывает растяжение, со знаком минус – сжатие.

Наглядное представление о методике построения эпюр и характере распределения внутренних сил в колонне дает рис. 4.21. Линейные размеры колонны и величины нагрузок взяты такими: а = 8 м; b = 7 м; с = 5 м; е = 0,5 м; Р₁ = 200 кН; Р₂ = 20 кН; Р₃ = 100 кН; Р₄ = 10 кН; Р₅ = 50 кН.