Порядок расчета геометрических характеристик плоских сечений

Рекомендуется следующий порядок определения геометрических характеристик сложных составных сечений:

1. Выбираем начальную систему координат y₀z₀, проводя оси y₀ и z₀ так, чтобы они касались крайних точек составного сечения слева и снизу (см. рис. 4.2а).

2. Сложную фигуру разбиваем на простые (F₁, F₂ и т.д.), характеристики которых легко определить. Если в составное сечение входят прокатные профили (уголки, швеллера и т.п.), то необходимые геометрические характеристики их (площадь сечения, положение центра тяжести и др.) выбираются по таблице сортамента.

3. В выбранной системе координат определяем положение центров тяжести простых фигур, обозначая их соответственно как C₁(y₁,z₁), C₂(y₂,z₂) и т.д. (рис. 4.2б) Символом F₁, F₂ и т. д., будем обозначать не только порядковый номер фигуры, но и площадь её сечения.

2. По формулам (4.8) определяем координаты центра тяжести фигуры C(y_с,z_с) и проводим центральные оси y и z (рис. 4.2б). Определяем моменты инерции частей фигуры относительно их собственных центральных осей (y₁,z₁ , y₂,z₂ и т.д.), и размеры а₁, b₁, а₂, b₂ и др. Используя формулы перехода к параллельным осям – (4.9)…(4.11) вычисляем значения .

5. По формуле (4.13), определяем угол наклона главных центральных осей, причем ось, проведенную под меньшим углом (положительным или отрицательным), обозначаем буквой U,а перпендикулярную к ней – буквойV.

6. По формулам (4.14) определяем значения главных центральных моментов инерции.

Пример 4.1.

Для Z – образного сечения, показанного на рис. 4.6, определить положение центра тяжести y_c, z_c , угол наклона главных центральных осей инерции , моменты инерции относительно центральных осей oy и oz и моменты инерции относительно главных центральных осей U и V.

Р е ш е н и е.

Выберем систему начальных осей y₀ и z₀, проведя их так, чтобы они касались крайних точек (слева и снизу) рассматриваемого составного сечения.

Разбиваем фигуру на простые части в виде прямоугольников, находим площади их сечений и общую площадь фигуры:

мм² , мм², мм²,

мм².

В выбранной системе осей определяем координаты центров тяжести простых фигур – C₁, C₂, C₃, обозначая их соответственно как y₁, z₁; y₂, z₂ и т.д. (рис. 4.6). В таблице 4.1 даются численные значения искомых величин.

Координаты центра тяжести y_с, z_с составной фигуры в системе y₀z₀, определяем по формулам (4.8):

мм

мм,

Таблица 4.1 – Промежуточные параметры сечения

Фигура	Площадь фигуры, мм2	Координаты ЦТ фигуры в системе y0z0, мм	Координаты ЦТ фигуры в центральной системе yz, мм	Статический момент площади фигуры относительно осей y0 и z0, 104 мм3	Координаты ЦТ всей фигуры в системе y0z0, мм
yi	zi	ai	bi			yс	zс
F1				-27,46	55,42	8,1
F2			77,5	12,54	-17,08	10,62	9,7
F3			7,5	37,54	-87,08	9,9	0,67
F		-	-	-	-	28,62	37,37	72,47	94,58

Определим моменты инерции каждого прямоугольника относительно собственных центральных осей:

мм⁴, мм^2.

Остальные значения моментов (размерность – мм⁴) приводим без подробностей расчета:

, , , .

Моменты инерции каждой простой фигуры относительно центральных осей y и z вычисляются по формулам (4.11). Например:

мм⁴,

мм⁴.

Остальные значения моментов приводим без подробностей расчета в таблице 4.2.

Суммируя последние три столбца таблицы 4.2, находим моменты инерции составной фигуры относительно центральных осей y и z :

мм⁴, мм⁴, мм⁴.

Угол наклона главных центральных осей (рис. 4.7б) к оси oy найдем по формуле (4.13):

.

Таблица 4.2 – Моменты инерции сечения

Фигура	Моменты инерции фигуры, 106 мм4, относительно
собственных осей yi, zi	центральных осей y; z
F1	0,06	1,215	5,588	2,573	-2,74
F2	1,628	0,0104	1,993	0,207	-0,267
F3	0,0168	0,27	6,842	1,538	-2,941

Примечание: Центробежные моменты инерции фигур относительно собственных центральных осей = 0

Главные центральные моменты инерции (мм⁴) определяем по формулам (4.14):

Правильность расчетов проверяем по условию (4.17):

,

что указывает на достаточную точность полученных результатов.

Реальные конструктивные элементы сварных конструкций (балки, фермы, колонны и т.д.) могут включать в себя как стандартные профили (уголки, швеллера, двутавры), так и нестандартные виды сечений простого или сложного очертания. Приводим пример, в котором рассматривается составное сечение, включающее профильный элемент в виде неравнополочного уголка.

Пример 4.2.

Найти положение главных центральных осей и значения главных центральных моментов инерции для сечения состоящего из неравнополочного уголка сечением 110 70 8 мм (ГОСТ 8510-86) и прямоугольной полосы сечением 20 160 мм (рис. 4.8).

Р е ш е н и е

Прежде всего, определим все необходимые параметры сечения стандартного уголка. По сортаменту прокатной угловой стали, устанавливаем координаты ЦТ уголка (рис. 4.8,а) и значение необходимых ГХС:

см², см, см, см⁴,

см⁴, см⁴, .

В выбранной системе осей составного сечения (рис. 4.8б) определяем координаты центров тяжести простых фигур – C₁, C₂,, обозначая их соответственно как y₁, z₁; y₂, z₂. В таблице 4.3 даются численные значения искомых величин.

Координаты центра тяжести y_с, z_с составной фигуры в системе y₀z₀, определяем по формулам (4.8):

cм,

cм.

Таблица 4.3 –Промежуточные параметры сечения (рис. 4.8б)

Фигура	Площадь фигуры, см2	Координаты ЦТ фигуры в системе y0z0, см	Координаты ЦТ фигуры в центральной системе yz, см	Статический момент площади фигуры относительно осей y0 и z0, 104 см3	Координаты ЦТ всей фигуры в системе y0z0, см
yi	zi	ai	bi			yс	zс
F1	13,93	5,61	14,36	3,212	4,431	0,781	2,0
F2				-1,398	-1,929	0,32	2,56
F	45,93	-	-	-	-	-	-	2,4	9,93

Поскольку моменты инерции уголка уже известны, то определим их только для полосы (вторая простая фигура – F₂) относительно собственных центральных осей:

см⁴, см^2.

Моменты инерции (см⁴) каждой фигуры относительно центральных осей y и z вычисляются по формулам (4.11):

,

,

.

Остальные значения моментов (см⁴) приводим без подробностей расчета:

, ,

Суммируя составляющие (см. формулы 4.9 и 4.10), находим моменты инерции составной фигуры относительно центральных осей y и z :

Угол наклона главных центральных осей (рис. 4.8,б) к оси oy найдем по формуле (4.13):

.

Главные центральные моменты инерции (см⁴) определяем по формулам (4.14):

Пример 4.3.

Определить геометрические характеристики поперечного сечения сварной лопасти руля судна, ( рис. 4.9) ось которой наклонена под углом 15 градусов к оси движения судна. Профиль лопасти задан координатами 26 точек в таблице 4.4 (в наклоненном положении). Размеры заданы в см.

Р е ш е н и е

Поскольку сечение рулевой лопасти имеет сложное очертание и его нельзя расчленить на простые фигуры, воспользуемся вторым способом определения ГХС – способом обхода контура, используя формулы (4.16).

Таблица 4.4 – Координаты точек контура лопасти руля (см)

По заданным координатам точек контура (на рис. 4.9 точки обозначены цифрами 1…26, обход сделан по часовой стрелке) определяем, вначале, значения промежуточной величины для каждой пары координат рассматриваемой точки, например, для точки 5 ( ):

.

Всего будет двадцать шесть значений .

Далее определяем: площадь сечения лопасти F, координаты центра тяжести (в координатной системе y₀0z₀) сечения , моменты инерции и центробежный момент .

Выполненные расчеты дают следующие величины:

см², см, см, см⁴, см⁴, см^2.

Моменты инерции относительно центральных осей и , а также главные центральные осевые моменты инерции и их положение (угол ) определяются по ранее рассмотренным соотношениям:

и т.д.

Выполненные расчеты дают следующие величины:

см⁴, см⁴, см⁴,

, см⁴, см⁴,

В заключение отметим, что расчеты по второму методу целесообразно выполнять на компьютере по составленной программе или используя известный математический редактор, например – MathСad.