Некоторые сведения из алгебры матриц

Прямоугольная таблица, составленная из элементов (в частном случае чисел) и имеющая m строк и n столбцов, называется матрицей размера m x n. Элементы этой матрицы обозначаются через , где i – номер строки, а j – номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент:

Если в матрице число строк не равно числу столбцов, то есть m¹n, то матрица называется прямоугольной. Матрица, имеющая только одну строку, то есть m=1, называется матрицей-строкой (или вектором-строкой):

Матрица, имеющая только один столбец, то есть n=1, называется матрицей-столбцом (или вектором-столбцом):

Матрицу-строку или матрицу-столбец называют вектором и обозначают

или .

Числа х₁, х₂, …, х_n называются координатами (или элементами) вектора Х. так как число координат вектора есть, по определению, его размерность, то вектор Х является n-мерным. Трёхмерный вектор R обозначается:

.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то есть m=n, то матрица называется квадратной.

Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, проходящая через верхний левый и нижний правый углы, то есть совокупность элементов вида a_ii, где i=1,2,…,n.

Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Эта матрица имеет следующий вид:

Диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, называется единичной. Единичная матрица обозначается:

Индекс n указывает на порядок единичной матрицы.

Квадратная матрица, в которой все элементы расположены симметрично относительно главной диагонали, называется симметричной. Для симметричной матрицы a_ij=a_ji (i¹1), например:

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается через О. если нужно указать число строк и столбцов, то записывают:

Две матрицы и называются равными, если: 1) они одного и того же размера; 2) соответствующие элементы этих матриц равны между собой. Таким образом, если:

и a_ij=b_ij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.), то А=В.

Суммой двух матриц одного и того же размера называется матрица того же размера, элементы которой С_ij равны суммам соответствующих элементов a_ij=b_ij матриц А и В, то есть с_ij=a_ij+b_ij.

Разность матриц определяется аналогично сумме, только у элементов вычитаемой матрицы знак меняется на противоположный: D=A-B; d_ij=a_ij-b_ij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.).

Произведением матрицы на число a называется матрица, элементы которой получаются умножением всех элементов матрицы на число a:

Матрица –А=(-1)А называется противоположной матрице А.

Сложение матриц подчиняется следующим законам:

А+(В+С)=(А+В)+С; А+В=В+А; А+0=А; А+(-А)=0.

Произведение матрицы на число подчиняется следующим законам:

1×А=А; 0×А=0; a(bА)=(ab)×А.

Произведением А×В двух матриц:

,

имеющих соответственно размеры m x n и n x q, называется матрица

размера m x q. Матрица С= А×В определена только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Чтобы получить элементы с_ij, стоящий в i-й строке и j-м столбце произведения двух матриц, нужно элементы i-й строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j-го столбца второй и полученные произведения сложить:

с_ij=a_i1b_1j+ a_i2b_2j+…+ a_inb_nj (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.).

Например, с₂₃=a₂₁b₁₃+ a₂₂b₂₃+…+ a_2nb_n3, с₄₁=a₄₁b₁₁+ a₄₂b₂₁+…+ a_4nb_n1, и т.п.

=

Произведение матриц подчиняется следующим законам:

А(ВС)=(АВ)С; a(АВ)=(aА)В; (А+В)С=АС+ВС; ЕА=А; АВ¹ВА; АЕ=ЕА=А.

Действия сложения и умножения на число над матрицами-столбцами и матрицами-строками (т.е. векторами) производятся аналогично соответствующим действиям над квадратными матрицами. Суммой двух векторов и является вектор с координатами z₁=x₁+y₁; z₂=x₂+y₂; … ; z_n=x_n+y_n; произведением вектора на число a - вектор .

Транспонированной матрицей размера n x m называется матрица (размера n x m), полученная из матрицы А размера m x n путём замены строк соответствующими столбцами.

Свойства операции транспонирования:

(А^Т)^Т=А; (А+В)^Т=А^Т+В^Т; (А×В)^Т=В^Т×А^Т.

Определителем третьего порядка называется число

Свойства определителя:

1) определитель не меняется при транспонировании;

2) если одна из строк или один из столбцов определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю;

3) при перестановке двух строк или двух столбцов определитель меняет только знак;

4) определитель, содержащий две одинаковые строки или два одинаковых столбца, равен нулю;

5) если все элементы некоторой строки или столбца определителя умножить на число R¹0, то сам определитель умножится на это число;

6) определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю;

7) если все элементы i-й строки определителя n-го порядка представить в виде суммы двух слагаемых: a_ij=b_ij+c_ij (i=1,2,…,n) то данный определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-й, такие же, как и в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов b_ij, а в другом – из элементов c_ij;

8) если одна из строк определителя представляет собой сумму каких-либо других строк или сумму произведений каких-либо других строк определителя на число k, то определитель равен нулю;

9) определитель не изменится, если к элементам одной из его строк (столбцов) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Квадратная матрица называется обратной по отношению к данной квадратной матрице, если её умножение как справа, так и слева на данную матрицу даёт единичную матрицу, то есть:

А×А^-1=А^-1×А=Е

Квадратная матрица называется неособенной (или невырожденной), если её определитель не равен нулю. Если же определитель матрицы равен нулю, то матрица называется особенной (или вырожденной).

Для того чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А был отличен от нуля, то есть чтобы матрица А была неособенной.

Матрица, составленная из алгебраических дополнений и затем протранспонированная называется союзной (или присоединённой) по отношению к исходной матрице А и обозначается :

где d – определитель матрицы.

В общем виде для квадратной матрицы n-го порядка обратная матрица вычисляется по формулам:

то есть элементы исходной и обратной матриц связаны соотношением .

Для матрицы третьего порядка:

,