Оценка параметров генеральной совокупности по малым выборкам

На практике зачастую в ходе выборочного исследования нецелесообразно или нет возможности использовать выборки повышенного объема, что связано с утерей в ходе обследования изучаемых свойств единицами наблюдения. К примеру, исследуется прочность изделия, средняя продолжительность его эксплуатации и т.д. В данных случаях целесообразно использование выборок небольшого объема – малых выборок.

В статистике выборка считается малой, если ее объем n < 20÷30. Использование малых выборок при выборочном наблюдении имеет следующие особенности:

1) необоснованным становится вывод о нормальном законе распределения выборочных средней и доли w, так как он основан на центральной предельной теореме при больших значениях n [10];

2) необоснованной становится замена неизвестных генеральной дисперсии σ² и доли р их точечными оценками соответственно s² и w, так как в силу состоятельности данных оценок эта замена возможна лишь при больших n.

В случае малых выборок оценка генеральной средней и доли осуществляется следующим образом.

1. Оценка генеральной средней.

В теории математической статистики доказано, что по данным выборки можно построить случайную величину

,

которая имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Функция плотности распределения Стьюдента имеет следующий вид:

,

где ; - гамма-функция;

t – возможные реализации случайной величины T; n – объем выборки.

Тогда доверительную вероятность (и доверительный интервал соответственно), т.е. вероятность попадания оцениваемой величины в заданный интервал можно определить на основе функции распределения Стьюдента[11]:

,

2. Оценка генеральной доли (вероятности биномиального распределения).

Границы p₁ и p₂ доверительного интервала для генеральной доли (для случая повторного отбора) можно определить по следующим формулам:

.

В случае больших выборок, при , в вышеприведенной формуле величинами (по сравнению с 1), (по сравнению w) и (по сравнению с ) можно пренебречь, в результате чего данную формулу можно упростить следующим образом:

.