Основы Булевой алгебры

Булева алгебра была впервые описана английским математиком Чарльзом Людвигом Доджосоном, более известным под псевдонимом Льюис Кэрролл, а в 1854 году шотландский математик Джордж Буль ввел двузначную алгебраическую систему, называемую теперь булевой алгеброй. Правда, первоначально аппарат алгебры разрабатывался как средство разбора, подтверждения или, наоборот, отклонения сложных философских высказываний и лишь в 1938 году американский инженер Клод Элвуд Шеннон показал, как приспособить булеву алгебру для описания поведения и анализа схем, составленных из электромеханических реле, которые в то время были самыми распространенными логическими элементами.

Электромеханическое (электромагнитное) или просто реле при всей его громоздкости и черепашьей скорости переключений обладает несомненными достоинствами, которые заставляют и в настоящее время их производить и использовать. Первое достоинство – гальваническая развязка между цепью управления (обмоткой) реле и его контактами. Второе достоинство, имеющее отношение к алгебре логики, двоичное состояние контактов - замкнутое или разомкнутое (конечно при условии, что механика реле исправна, а сами контакты не окислены и не разболтаны).

В алгебре Буля используют двоичную переменную X, удовлетворяющую аксиомам или постулатам, т.е. утверждениям, про которые мы предполагаем, что они справедливы, и из которых вытекают все другие свойства системы.

Аксиома 1. X 1, если X 0 и X = 0, если X 1. Другими словами - Да это Да, а Нет это Нет, контакты либо замкнуты, либо разомкнуты и т.д.).

Аксиома 2. Если Х = 0, то Не Х = 1, если Х = 1, то Не Х = 0

Другими словами – если некое реле имеет переключающую группу и в этой группе нормально разомкнутый контакт разомкнут, то в этот же момент времени нормально замкнутый контакт того же реле замкнут.

С учетом перечисленных аксиом рассмотрим три основные простейшие логические операции: дизъюнкцию, конъюнкцию и инверсию.

Операция дизъюнкции (с латинского- разобщение). Обозначается знаками «V» или «+».Другое название этого действия: ИЛИ (операция логического сложения). Для двух переменных Х₁ и Х₂ эта операция даёт результаты, представленные в табл. 1.1, получившей название таблицы истинности, где представлены все возможные сочетания

Таблица 1.1

Таблица истинности операции ИЛИ

		Y

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Вывод: Переменная Y принимает единичное значение, если хотя бы одна из переменных равна единице.

Аналитическая запись: Правильная Х₁ V Х₂ = Y, допускаемая Х₁ + Х₂ = Y Читается: Игрек равен икс один или икс два.

Переменных в общем случае может быть n, то есть .

Значение истинно, если истинна хотя бы одна из переменных .

Условное обозначение ЛЭ ИЛИ – дизъюнктора

Американская

Схемная реализация логического элемента ИЛИ на контактах и реле

Операция конъюнкции (с лат. соединение). Другое название «И» (операция логического умножения). Записывается в виде: Правильно Λ или Y = X₁ & X₂, допускается Y = X₁ × X₂ или даже совсем без точки Y = X₁X₂

Читается: Игрек равен икс один И икс два.

Составим таблицу истинности (табл. 1.2) для операции конъюнкции двух переменных, в которой также перечислим все возможные сочетания значений Х₁ и Х₂.

Таблица 1.2

Таблица истинности операции И.

		Y

0 · 0 = 0

0 · 1 = 0

1 · 0 = 0

1 · 1 = 1

Вывод: Переменная принимает единичное значение только в том случае, когда переменная так же как переменная принимает единичное значение.

Для n переменных:

Значение истинно, если истинны все переменные Х_n.

Условное обозначение логического элемента И – конъюнктора

Американская

Схемная реализация логического элемента И на контактах и реле

Операция инверсии (НЕ) - операция логического отрицания

Записывается в виде

Читается: Игрек равен не икс

Так как операция выполняется над одной переменной , то число возможных значений равно 2¹ = 2, что и отражено в таблице истинности (табл. 1.3).

Таблица 1.3

Таблица истинности

операции инверсии

Условное обозначение инвертора

Американская

Схемная реализация на контактах и реле: