Вывод уравнения Лагранжа второго рода.
Уравнения Лагранжа второго рода представляют дифференциальные уравнения несвободной системы, составленные в обобщенных координатах. Наибольшее распространение получили уравнения в независимых обобщенных координатах, — их обычно и называют уравнениями Лагранжа второго рода, а иногда просто уравнениями Лагранжа, так как уравнениями Лагранжа первого рода пользуются сравнительно редко. Рассмотрим систему с n степенями свободы, подчиненную идеальным голономным связям. Положение системы в пространстве будем определять n независимыми обобщенными координатами . Вектор-радиус любой точки системы может быть выражен через обобщенные координаты и время , а возможные перемещения определятся как вариации вектор-радиусов;
.
Так как все обобщённые координаты считаем независимыми, то все представляют произвольные бесконечно малые величины. Докажем предварительно два тождества Лагранжа. Составим выражения векторов скоростей точек системы:
(4.19)
Производные обобщенных координат по времени, т. е. величины называются обобщенными скоростями. Формулы (4.19) показывают, что скорость любой точки линейно выражается через обобщенные скорости, Поэтому, обозначая через к произвольный индекс, изменяющийся от 1 до n, будем иметь:
(4.20)
Это первое тождество Лагранжа. Докажем второе тождество
(4.21)
Для этого, дифференцируя обе части (4.19) по , получим
С другой стороны, составим непосредственно
Сравнивая последние два равенства, убеждаемся в справедливости соотношения (4.21). Обратимся к общему уравнению динамики (4.18) и перепишем его в виде
(4.22)
Первая сумма уже была выражена через обобщенные координаты (4.11); она равна , где Qj — обобщенная сила. Что касается второй суммы в уравнении (4.22), то ее можно преобразовать, пользуясь (4.9) и меняя порядок суммирования:
(4.23)
скалярное произведение под знаком суммы преобразуется к виду
или по формулам (4.20) и (4.21)):
Подставляя последнее выражение в круглую скобку правой части равенства (4.23) и замечая, что сумма определяет кинетическую энергию системы, получим:
Уравнение (4.18) теперь перепишется так:
(4.24)
Последнее равенство может выполняться при произвольных , только если все круглые скобки равны нулю. Таким образом, мы приходим к уравнениям Лагранжа второго рода, составленным в независимых обобщенных координатах для системы с голономными связями:
(4.25)
Уравнения (4.25) представляют совокупность n (по числу степеней свободы) обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с n независимыми обобщенными координатами, являющимися искомыми функциями времени. Оператор
(4.26)
носит название оператор Эйлера-Лагранжа. Уравнению Лагранжа второго рода можно дать и другое доказательство. Как указывалось выше, положение любой точки можно представить в виде , где n - число независимых обобщённых координат, равное, в нашем случае, числу степеней свободы системы. Тогда и величину можно представить как направление вдоль координатной линии . Спроектируем основное уравнение динамики точки на это направление
(при этом есть сумма всех сил: внешних и внутренних, действующих на точку) и сложим все полученные проекции.
(4.27)
Справа в выражении (4.27) стоит по (4.11) обобщённая сила, а слева выражение (4.23). Проведя аналогичные преобразования, получаем уравнение Лагранжа второго рода.
.
Пример. Рассмотрим задачу о колебаниях стержня массы m и длины l, подвешенного в точке D к вращающемуся вокруг вертикальной оси АВ стержню АВD. Момент инерции стержня АВD равен J. За обобщённые координаты выберем углы и φ. Кинетическая энергия системы в общем виде запишется в форме
М |
φ |
mg |
l |
a |
ψ |
z |
y |
x |
А |
В |
С |
D |
Здесь - скорость центра стержня, - вектор угловой скорости стержня, -тензор инерции стержня относительно центра С. Подставив введённые обозначения в формулу для кинетической энергии, получим
Проведя несложные преобразования, запишем кинетическую энергию в виде
Совсем нетрудно получить и выражение для возможной работы сил--момента и силы тяжести .
.
Обобщённые силы будут . Составим уравнения движения с помощью уравнения Лагранжа второго рода:
; обозначим , и , тогда и первое уравнение имеет вид
.
Второе уравнение будет
.
Дата добавления: 2019-12-09; просмотров: 493;