Возможные перемещения.
Обобщенные координаты представляют функции времени, определяемые интегрированием при заданных начальных условиях дифференциальных уравнений движения, выражающих законы механики. Этой совокупностью функций времени определяется истинное движение системы. Дифференциалы обобщенных координат представляют их бесконечно малые изменения в истинном движении, пропорциональные промежутку времени dt : .
При формулировании общих положений механики оказывается полезным ввести в рассмотрение бесконечно малые величины иной природы. Отвлекаясь от движения, зададимся вопросом, какое множество конфигураций в этот момент времени допускают связи системы. Если ограничиться рассмотрением конфигураций бесконечно близких к истинным и через обозначить бесконечно малые приращения обобщенных координат, называемые их вариациями, то упомянутое множество определится совокупностью величин
где в случае голономной системы вариации совершенно произвольны. Мы можем сказать, что в момент t связи такой системы, имеющей n степеней свободы, допускают конфигураций.
Рассмотрим точку системы , задаваемую вектор-радиусом . Изменение за промежуток времени dt определяется дифференциалом
(4.2)
представляющим бесконечно малое перемещение точки в истинном движении системы. Ему противопоставляется виртуальное или возможное перемещение точки , обозначаемое . Этот бесконечно малый вектор представляет изменение вектор-радиуса точки при мысленном переведении системы из рассматриваемой конфигурации в одну из ( ) допускаемых связями бесконечно близких конфигураций; он вычисляется в фиксированный момент t с точностью до первых степеней относительно вариаций :
(4.3)
Если связи не зависят от времени, то в выражении (4.2) отпадает последнее слагаемое. Дифференциалы связаны теми же соотношениями, что и вариации ; и истинное перемещение
принадлежит множеству виртуальных или возможных перемещений. В случае же нестационарных связей сравнение выражений (4.2) и (4.3) показывает, что не принадлежит этому множеству. Мы в дальнейшем считаем термины «виртуальный» и «возможный» синонимами, так как второй достаточно хорошо передает содержание французского слова virtuel. Сказанное о вектор-радиусе распространяется на любую функцию обобщенных координат и времени . Дифференциал ее - это приращение функции в процессе движении за промежуток времени dt:
а вариация
- бесконечно малое изменение, обусловленное переходом в фиксированный момент времени к бесконечно близкой конфигурации системы.
Рассмотренный в этом параграфе способ варьирования, заключающийся в сравнении конфигураций системы, допускаемых связями, и фиксированный момент времени t, называется синхронным варьированием. Можно рассмотреть более общую операцию асинхронного варьирования, когда истинная конфигурация в момент t сравнивается с бесконечно близкой, допускаемой связями в момент , отличный от t.
В механике Лагранжа основным понятием являются возможные перемещения, т.е. любые бесконечно малые перемещения системы, допускаемые связями, которые есть вариации координат или функций. Как указывалось выше дифференциал функции и вариация функции не одно и тоже. Уже само понятие вариация, очевидно, относится к особому методу вычисления, которое и носит название вариационное исчисление, о нём и пойдёт речь ниже.
Кроме задач определения экстремальных значений функций одной или нескольких переменных в технике, экономике и в различных областях науки нередко приходится иметь дело с нахождением минимальных или максимальных значений величин особого типа, которые называются функционалами.
Приведем несколько примеров. Функционалом является длина кривой, соединяющей две точки и на плоскости. Как известно, длина кривой на плоскости, заданной функцией у(х), определяется формулой
и, действительно, зависит от функции у(х). Отметим здесь, что функционалом является и длина пространственной кривой. Примером несколько иного типа является время движения управляемого объекта, зависящее как от формы траектории, так и от управляющего воздействия.
Вариационное исчисление изучает методы, с помощью которых могут быть найдены минимальные или максимальные значения функционалов. Задачи, в которых нужно найти минимум или максимум функционала, называются вариационными задачами. Многие законы физики сводятся к утверждению, что некоторый функционал в изучаемом процессе имеет максимум или минимум. В таком виде эти законы носят название вариационных принципов физики. В качестве примеров можно привести принцип наименьшего действия Гамильтона—Остроградского в механике, принцип Ферма в оптике, различные вариационные принципы классической и релятивистской теории поля и многие другие законы физики.
Начало созданию вариационного исчисления положили исследования решений задачи о брахистохроне, сформулированной И.Бернулли (1667—1748 гг.) в 1696 году. Он предложил математикам задачу о линии быстрейшего ската. В ней надо найти соединяющую две точки не лежащую на одной вертикали линию, обладающую тем свойством, что точка скатится из точки в точку за кратчайшее время. Оказалось, что линией быстрейшего ската оказалась циклоида.
Вариационное исчисление оформилось в самостоятельную математическую дисциплину со своими методами исследования благодаря фундаментальным работам действительного члена Петербургской Академии наук Леонарда Эйлера (1707—1783 гг.). Л. Эйлера можно считать создателем вариационного исчисления.
В чём разница нахождения экстремума гладкой функции одной переменной и экстремума функционала вида . Для читателя незнакомого с дифференциальным исчислением можно предложить такой способ: взять некоторое значение координаты и сосчитать , затем взять и определить . Если , то мы на правильном пути. Берём следующее значение и продолжаем наши вычисления до тех пор, пока не достигнем максимума функции. Для читателя, знакомого с дифференциальным исчислением, максимум функции, если он существует, определяется из условия равенства нулю первой производной заданной функции. Совсем иное найти непрерывную функцию у(х), удовлетворяющую граничным условиям и , которая сообщает, например, минимум указанного выше функционала. Здесь уже надо рассматривать различные функции, отличающиеся друг от друга. Для читателя незнакомого с вариационным исчислением можно предложить такой способ: взять некоторую функцию и сосчитать интеграл . Возьмём новую функцию , мало отличающуюся от и снова сосчитаем интеграл . Если < , то можно перейти к следующему приближению и т.д. Правда, в этом случае неизвестно, когда надо остановиться. Для читателя, знакомого с вариационным исчислением, минимум функционала, если он существует, определяется из условия равенства нулю первой вариации заданного функционала. Но в отличии от максимума функции, который определятся нахождением одной точки, первая вариация функционала приводит к уравнению Эйлера
(4.4)
после подстановки функции в это уравнение получаем дифференциальное уравнение второго порядка, уравнение экстремалей, решение которого, если оно существует, и даёт искомую кривую у(х). Возможным перемещениям можно дать более простую интерпретацию, если рассмотреть пример, не имеющий отношения к теоретической механике. Пусть известна начальная точка А (Санкт-Петербург) и конечная точка В (к примеру, Петропавловск на Камчатке). Аналогом функционала здесь будет функция цели: маршрут с максимумом впечатлений и удовольствий. Автор предоставляет читателю самому рассмотреть различные варианты (возможные перемещения) маршрута. В конце концов, читатель из всех возможных вариантов выбирает действительный маршрут. Но при выборе маршрута могут возникнуть некоторые ограничения, к примеру, время путешествия, что, естественно, приведёт к выбору другого маршрута, к другим вариантам (возможным перемещениям); свобода выбора стала меньше (число степеней свободы меньше). Ну а если рассмотреть ещё и финансовые ограничения, то может случиться, что осуществить это путешествие просто невозможно (случай, когда решения не существует). Таким образом, возможные перемещения – это варианты перебора, функционал – функция цели, свобода выбора – число степеней свободы, действительное перемещение – выбранный маршрут.
Задачей механики Лагранжа будет отыскание среди возможных перемещений таких, которые удовлетворяют выбранным критериям.
Дата добавления: 2019-12-09; просмотров: 477;