Диссипативная функция.
К числу диссипативных сил относятся силы сопротивления движению точек системы, направленные противоположно их скоростям. Мы рассмотрим случай сил сопротивления, представимых в виде
, (4.28)
где — величина скорости точки ; и — положительные функции от обобщенных координат и соответственно от скоростей . По (4.10) и (4.20) (первое тождество Лагранжа) соответствующие этим силам обобщенные силы определяются равенствами
, .
Заметив, что
,
находим
(4.29)
где через Ф обозначена величина, называемая диссипативной функцией
(4.30)
Заметим, что Ф>0, так как подынтегральные функции положительны. Диссипативная функция была введена в классическом труде Релея «Теория звука» для сил сопротивления, пропорциональных первой степени скорости. Здесь это понятие обобщено на силы более общего вида. В случае одночленной степенной зависимости сил сопротивления от скорости диссипативная функция
(4.31)
будет однородной функцией (m+1) степени от обобщенных скоростей, которую легко выразить через мощность диссипативных сил
(4.32)
Здесь применена теорема Эйлера об однородных функциях. Отметим, что m = 0 соответствует кулонову (сухому) трению, m=1—силам вязкого трения, пропорциональным первой степени скорости (случай Релея), m = 2 — силам квадратичного сопротивления.
При составлении обобщенных сил по формуле (4.29) необходимо иметь в виду, что дифференцируются выражения, содержащие модуль обобщенных скоростей. Например, при сопротивлении, пропорциональном четной степени скорости и n =1 (одна степень свободы)
(4.33)
где означает знак функции φ ( )= 1, если φ > 0 и =-1, если φ < 0).
Дата добавления: 2019-12-09; просмотров: 482;