Составление уравнения для функции Беллмана
Математическая модель. Целевая функция (суммарная прибыль) будет
(1)
Ограничения:
(2)
(В (2) можно использовать и неравенство , однако, как правило, ресурс используется полностью.)
(3)
Рассмотрим в (1)-(3) первых технологических процесса и выделим для них ресурс в объёме и будем этот ресурс для этих процессов распределять оптимально, тогда приходим к задаче:
(4)
Зафиксируем в (4) параметры и и задачу (4) будем решать следующим образом: последнему -му процессу выделим ресурс в объёме и получим прибыль , тогда процессам останется ресурс в объёме . Предположим, что распределение этого остатка осуществляется оптимальным образом, тогда получим прибыль . В результате такого подхода решение задачи (4) суммарная прибыль: .
Будем изменяться и искать такое значение для него, чтобы получаемая прибыль была наибольшей, то есть будем решать задачу:
(5)
Согласно принципу оптимальности Беллмана оптимальное значение целевой функции задачи (5) равно . То есть выполняется отношение:
(6)
(6) – искомое уравнение Беллмана. Решая задачу (5), мы найдём для неё оптимальный план . Это, очевидно, будет оптимальное количество ресурса, которое выделяется -му ресурсу в задаче (4). То есть оптимальное количество ресурса, которое получает -ый процесс при наилучшем распределении ресурса в объёме ля первых процессов: . Уравнение (6) по динамическому параметру рекуррентно, поэтому для того, чтобы его решить нужно задать для (6) начальные условия. Они получаются, если положить в (4) , тогда приходим к задаче: . Эта задача тривиальна, у неё единственный план и оптимальное значение целевой функции тогда будет:
(7)
Дата добавления: 2021-07-22; просмотров: 307;