ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

Масса тела переменной плотности

Рассмотрим тело, имеющее форму кругового цилиндра радиуса , плотность материала которого изменяется по закону , где – расстояние до одного из торцов. Определим массу данного тела. Предполагается плавное изменение плотности, что означает непрерывность функции и приближенное совпадение плотности близлежащих участков. Делаем разбивку цилиндра на достаточно малые участки, такие, что в пределах каждого из них плотность считаем постоянной и равной , где – точка участка. Вычисляем массы участков по формуле и суммируем результаты. Таким образом, получаем приближенное значение массы тела. При уменьшении участков точность вычисления повышается и легко себе представить, что в пределе при и получится точное значение массы

;

где – высота цилиндра.

Приведенный пример показывает характерные моменты образования интегральной суммы и получения определенного интеграла в физических задачах.

Статические моменты и координаты центра масс

Статическим моментом материальной точки массой относительно оси называют величину , где – расстояние до оси . статический момент системы материальных точек получается суммированием статистических моментов каждой точки. Через статистические моменты определяется важное физическое понятие – центр масс системы материальных точек. Координаты центра масс находят по формулам:

, ,

где ; – статистические моменты системы относительно осей и , – масса системы.

В случае, если масса непрерывно распределена вдоль дуги кривой путем деления на участки приближенно представляем ее системой материальных точек массами

,

имеющими координаты и . Точные значения статических моментов массы, непрерывно распределенной вдоль дуги кривой, получаются в пределе статистических моментов системы материальных точек. В итоге приходим к выражениям

; (18)

.

Масса дуги кривой находится умножением ее длины на линейную плотность :

.

Определение статических моментов массы пластины, имеющей форму криволинейной трапеции, также сводится к вычислению определенных интегралов, которые получаются по аналогичному принципу. Формулы расчета статических моментов пластины имеют вид

;

;

где , – уравнение границы криволинейной трапеции. При плотности (масса единицы площади платины) масса пластины определяется умножением ее площади на плотность и имеем формулу

.

Рис. 6

Пример. Найти статические моменты и координаты центра масс треугольной пластины, показанной на рис. 6. Плотность материала пластины принять .

Площадь треугольника равна , следовательно, масса пластины будет . Прямая, ограничивающая сверху пластину, имеет уравнение . Подставляя данную функцию, получим

,

.

Отсюда координаты центра масс пластины равны

; .

Сила притяжения материальных тел

По закону всемирного тяготения материальные точки массами и , находящиеся на расстоянии друг от друга, притягиваются с силой величиной . В случае материальных тел сила притяжения выражается определенным интегралом, который получается в результате применения предельного перехода к сумме сил притяжения отдельных частей материальных тел, принимаемых за материальные точки.

Пример. Найти силу притяжения материальной точки к стержню массой при их расположении, показанном на рис. 7.

Рис. 7

Рис. 8

Разбиваем стержень на малые участки протяженностью . Каждый участок считаем материальной точкой, находящейся на расстоянии от точки . Сила притяжения участка направлена вдоль оси и имеет величину . Предел суммы сил притяжения всех участков дает величину силы притяжения материальной точки к стержню. Имеем

.

В качестве упражнения рекомендуется найти силу притяжения материальной точки к стержню при их расположении, показанном на рис. 8.