Отношения следования и равносильности между предложениями

Рассмотрим две высказывательные формы: «число х кратно 4» и «число х кратно 2», заданные на множестве N натуральных чисел.

Как связаны между собой эти два предложения?

Можно сказать так: из того, что число х кратно 4, следует, что х кратно 2. Это мы можем утверждать, потому что знаем - при всех значениях х, при которых истинно предложение

«число х кратно 4», будет истинно и предложение «число х кратно 2». В этом случае говорят, что данные предложения находятся в отношении логического следования.

Определение. Высказывательная форма В(х) следует из высказывательной формы А(х), если В(х) обращается в истинное высказывание при всех тех значениях х, при которых А (х) истинна.

Пусть А и В - высказывания, тогда говорят, что из А следует В, если всякий раз, когда А истинно, истинно и В.

Для обозначения отношения логического следования используется знак =>. Соединяя две высказывательные формы А(х) и В(х) таким знаком, мы получаем высказывание А(х) => В(х), прочитать которое можно по разному:

1) Из А(х) следует В(х).

2) Всякое А(х) есть В(х).

3) Если А(х), то В(х).

4) В(х) есть следствие А(х).

5) А(х) есть достаточное условие для В(х).

6) В(х) есть необходимое условие для А(х).

Например, утверждение о том, что из предложения «число х кратно 4», следует предложение «число х кратно 2», можно сформулировать еще так:

- Всякое число, которое кратно 4, кратно и 2.

- Если число кратно 4, то оно кратно и 2.

- Кратность числа 2 есть следствие кратности его 4.

- Кратность числа 4 есть достаточное условие для его кратности 2.

- Кратность числа 2 есть необходимое условие для его кратности 4.

Последние два предложения часто формулируют в следующей форме:

- Для того чтобы число было кратно 2, достаточно, чтобы оно было кратно 4.

-Для того чтобы число было кратно 4, необходимо, чтобы оно было кратно 2.

Так как одно и то же утверждение «из А(х) следует В(х)» можно прочитать по-разному, надо уметь переходить от одной его формулировки к другой, не меняя смысла.

Задача 1. Данные предложения переформулируйте, используя различные способы прочтения утверждений А(х) => В(х):

а) Всякий квадрат является прямоугольником.

б) Для того чтобы число делилось на 5, достаточно, чтобы его запись оканчивалась нулем.

Решение, а) В данном высказывании можно выделить два предложения: А(х)- «четырехугольник- квадрат» и В(х) - «четырехугольник - прямоугольник». Они находятся в отношении следования: А(х) => В(х), которое выражено предложением со словом «всякий». Данное высказывание можно переформулировать:

1) Из того, что четырехугольник- квадрат, следует, что он прямоугольник.

2) Если четырехугольник - квадрат, то он прямоугольник.

3) Четырехугольник является прямоугольником - это следствие того, что четырехугольник - квадрат.

4) Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы он был квадратом.

5) Для того чтобы четырехугольник был квадратом, необходимо, чтобы он был прямоугольником.

б) В данном высказывании так же, как и в а), можно выделить два предложения: Р(х) - «число делится на 5» и К(х) - «запись числа оканчивается нулем», причем второе является достаточным условием для первого. Поэтому имеет место следование: К(х) => Р(х), которое можно сформулировать так:

1) Из того, что запись числа оканчивается нулем, следует, что число делится на 5.

2) Всякое число, запись которого оканчивается нулем, делится на 5.

3) Если запись числа оканчивается нулем, то оно делится на 5.

4) Делимость числа на 5 - это следствие того, что его запись оканчивается нулем.

5) Для того чтобы запись числа оканчивалась нулем, необходимо, чтобы оно делилось на 5.

Как и любое высказывание, предложение А(х) => В(х) может быть истинным либо ложным. Но так как оно может быть (формулировано в виде «всякое А(х) есть В(х)», то его истинность устанавливается путем доказательства, а с помощью контрпримера - что оно ложно.

Задача 2. Определить значение истинности высказывания:

а) Если запись числа оканчивается цифрой 6, то число делится на 2.

б) Для того чтобы число делилось на 5, необходимо, чтобы п о запись оканчивалась нулем.

Решение, а) По всей видимости это высказывание истинное. Действительно, всякое число, запись которого оканчивается цифрой 6 - четное, а всякое четное число делится на 2.

Следовательно, число, запись которого оканчивается цифрой 6, делится на 2.

Мы убедились в истинности данного высказывания путем доказательства.

б) Если сформулировать данное высказывание в виде «из того, что число делится на 5, следует, что его запись оканчивается нулем», то сразу можно сказать, что оно ложное. И убедиться в этом можно при помощи контрпримера. Например, число 35 делится на 5, но его запись не оканчивается нулем.

С теоретико-множественной точки зрения высказывание А(х) => В(х) означает, что если Т_А - множество истинности высказывательной формы А(х), а Т_В- множество истинности высказывательной формы В(х), то Т_А Т_В. Справедливо и обратное утверждение.

Этим фактом удобно пользоваться при установлении значения истинности высказывания А(х) => В(х).

Задача 3. Доказать, что из уравнения 3х(х - 2) = 0 следует уравнение 3х(х - 2)(х + 3) = 0, если уравнения заданы на множестве Z целых чисел.

Решение. Множество решений первого уравнения –Т₂ = {0, 2}, множество решений второго - Т₂ = {0, 2, -3}. Видим, что Т₁ Т₂. Следовательно, из уравнения 3х(х - 2) = 0 следует уравнение 3х(х - 2)(х + 3) = 0.

Рассмотрим две высказывательные формы А(х) - «число делится на 3» и В(х) - «сумма цифр в записи числа делится на 3». Из школьного курса математики известно, что если число делится на 3, то сумма цифр в записи этого числа разделится на 3, и наоборот. В этом случае говорят, что предложения А(х) и В(х) равносильны.

Определение. Предложения А (х) и В(х) равносильны, если из предложения А(х) следует предложение В(х), а из предложения В(х) следует предложение А (х).