Высказывания с кванторами

В параграфе, который мы изучаем, рассматриваются различные виды математических предложений. Мы выяснили, что среди них выделяют высказывания и высказывательные формы, которые могут быть элементарными и составными. Мы узнали также, как устанавливают значение истинности таких высказываний и как находят множество истинности высказывательных форм. Но мы, конечно, не исчерпали все многообразие формулировок математических предложений и, значит, не знаем многих правил обращения с ними. Например, почему можно одну и ту же теорему о равенстве вертикальных углов формулировать по-разному:

1) Вертикальные углы равны.

2) Если углы вертикальные, то они равны.

3) Для того чтобы углы были равны, достаточно, чтобы они были вертикальными.

4) Для того чтобы углы были вертикальными, необходимо, чтобы они были равны.

Или: почему истинность предложения «сумма трех любых последовательных натуральных чисел делится на 3» надо доказывать, а чтобы убедиться в истинности предложения «некоторые натуральные числа делятся на 3», достаточно привести конкретный пример?

Чтобы ответить на эти вопросы, необходимо более глубокое изучение математических предложений и, прежде всего, высказываний с кванторами.

В формулировках математических предложений часто встречаются слова: «каждый», «все», «некоторые», «хотя бы один». Например, свойство противоположных сторон прямоугольника формулируется так: «в любом прямоугольнике противоположные стороны равны», а о свойстве натуральных чисел мы говорили, что «некоторые натуральные числа кратны 5». Выясним, каков смысл этих слов и как он используются в математике.

Если задана высказывательная форма, то, чтобы превратить ее в высказывание, достаточно вместо каждой из переменных, входящих в форму, подставить ее значение. Например, если на множестве N натуральных чисел задана высказывательная форма А(х) — «число х кратно 5», то, подставив в нее вместо х число 20, мы получим истинное высказывание «число 20 кратно 5». Если же в эту высказывательную форму подставить вместо х число 17, мы получим ложное высказывание «число 17 кратно 5».

Однако существуют и другие способы получения высказываний из высказывательных форм.

Если перед высказывательной формой «число х кратно 5» поставить слово «всякое», то получится предложение «всякое число х кратно 5». Относительно этого предложения можно задать вопрос, истинно оно или ложно. Значит, предложение «всякое число х кратно 5» (х N) - высказывание, причем ложное.

Выражение «для всякого х» в логике называется квантором общности по переменной х (переменная может быть обозначена и другой буквой) и обозначается символом х.

Запись ( x) А(х) означает: «для всякого значения х предложение А(х) - истинное высказывание». Иногда эту запись дополняют обозначением множества X, на котором задана высказывательная форма А(х), и тогда предложение ( x X) А(х) можно читать:

а) для всякого х из множества X истинно Л(х);

б) всякий элемент из множества X обладает свойством А.

Выражение «существует х такое, что ...» в логике называется квантором существования по переменной х (переменная может быть обозначена и другой буквой) и обозначается символом х.

Запись ( х) А(х) означает: «существует такое значение х, что А(х) - истинное высказывание». Иногда эту запись дополняют обозначением множества X, на котором задана высказывательная форма А(х), и тогда предложение ( х X) А(х) можно читать:

а) существует такое х из множества X, что истинно А(х);

б) хотя бы один элемент х из множества X обладает свойством А.

Заметим, что в математике наряду со словом «всякий» употребляют слова «каждый», «любой», а вместо слова «существует» используют слова «некоторые», «найдется», «есть», «хотя бы один».

Обратим внимание на особенность употребления в математике слова «некоторый», В обычной речи, говоря «некоторые», имеют в виду «по меньшей мере один, но не все», в математике же слово «некоторые» означает «по меньшей мере один, но, может быть, и все».

Итак, если задана одноместная высказывательная форма А(х), то чтобы превратить ее в высказывание, достаточно связать квантором общности или существования содержащуюся в ней переменную. Если же высказывательная форма содержит несколько переменных, то перевести ее в высказывание можно, если связать квантором каждую переменную. Например, если дана высказывательная форма «х > у», то для получения высказывания надо связать квантором обе переменные: например, ( x)( у) х > у или ( х)( у) х > у.

Однако важно уметь не только переходить от высказывательной формы к высказыванию с помощью кванторов, но и распознавать высказывания, содержащие кванторы, и выявлять их логическую структуру. Дело в том, что кванторы содержатся в формулировках определений, теорем и других математических предложений, хотя часто только подразумеваются. Например, в формулировке теоремы «Вертикальные углы равны» квантора в явном виде нет, но предполагается, что данное утверждение справедливо для всех вертикальных углов. Записывая коммутативное свойство сложения в виде а + b = b + а, подразумевают, что оно справедливо для любых чисел а и b.

Задача 1. Выявить логическую структуру следующих высказываний:

а) Некоторые нечетные числа делятся на 5.

б) Произведение двух любых последовательных натуральных чисел кратно 2.

в) В прямоугольнике диагонали равны.

Решение, а) В этом предложении имеется квантор существования, он выражен словом «некоторые», и высказывательная форма «нечетные числа делятся на 5», заданная на множестве X нечетных чисел. Обозначим высказывательную форму символом А(х), тогда логическая структура данного предложения такова: ( х X) А(х). Если предложение А(х) записать, используя символы: «х 5», то исходное высказывание можно представить в таком виде: ( х X) х 5, где X-множество нечетных чисел.

б) В данном предложении имеется квантор общности, он представлен словом «любой», и высказывательная форма «произведение двух последовательных натуральных чисел кратно 2», заданная на множестве N натуральных чисел. Обозначим ее А(х). Тогда логическая структура данного высказывания такова: ( x N) A(x). И если А(х) представить в виде х(х + 1) 2, то заданное предложение можно записать так: ( х N) х (х+ 1) 2.

в) В заданном высказывании квантора в явном виде нет, но подразумевается, что свойством «иметь равные диагонали» обладают любые прямоугольники, следовательно, этот квантор общности можно включить в заданное высказывание, не изменив его сути: «в любом прямоугольнике диагонали равны». Тогда его структура такова: ( x X) А(х), где X - множество прямоугольников, А(х) - высказывательная форма «в прямоугольнике диагонали равны».

Выясним теперь, как устанавливают значения истинности высказываний, содержащих кванторы.

Рассмотрим сначала высказывание с квантором общности, т.е. высказывание вида ( x X) А(х). В нем утверждается, что для любого х из множества X истинно А(х), поэтому, чтобы убедиться в истинности этого высказывания, надо показать, что множество истинности Т_А высказывательной формы А(х) совпадает с множеством X (Т_А =X). Чтобы убедиться в ложности высказывания ( x X) А(х), достаточно показать, что Т_А ≠X, т.е. показать, что существует такое значение х X, при котором высказывательная форма обращается в ложное высказывание.

Задача 2. Установить, истинны или ложны следующие высказывания:

а) Для каждого х из множества {0, 1, 4} значение выражения

(4 - х) : (2х + 1) есть число целое.

б) Произведение двух любых последовательных натуральных чисел кратно 2.

в) Всякое натуральное число делится на 5.

Решение, а) Если мы хотим убедиться в истинности данного высказывания, то надо показать, что при подстановке каждого числа из множества {0, 1, 4} в выражение (4 - х) : (2х + 1) получается целое число. Имеем:

если х = 0, то (4 - 0):(20 + 1) = 4:1 = 4;

если х = 1, то (4- 1):(2-1 + 1) = 3:3 = 1;

если х = 4,то(4-4):(2-4 + 1) = 0:9 = 0.

Действительно, значение выражения (4-х):(2х+1) при всех заданных значениях х есть число целое. Установили мы это путем перебора всех возможных случаев.

б) Воспользуемся результатом задачи 1 (случай б) и представим данное высказывание в таком виде: ( x N) х (х + 1) 2.

Мы не знаем, истинно оно или ложно, поэтому рассмотрим несколько случаев. Если х = 1, то произведение 1∙2 кратно 2, так как на 2 делится второй множитель. Если х = 2, то произведение 2∙3 тоже кратно 2, так как на 2 делится первый множитель. Если х = 7, то и в этом случае 7∙8 кратно 2, поскольку второй множитель 8 делится на 2. Исходя из рассмотренных случаев, можно предположить, что данное высказывание истинное, но убедиться в этом путем перебора (как в первом предложении) нельзя, поскольку невозможно перебрать все натуральные значения х. Будем рассуждать. Из двух последовательных натуральных чисел одно обязательно четное. Но если в произведении один из множителей делится на 2, то, как известно, и все произведение делится на 2. Следовательно, при любом натуральном х произведение х(х+1) делится на 2.

в) Высказывание «всякое натуральное число делится на 5» - ложное. Убедиться в этом можно, назвав натуральное число, которое не делится на 5, например число 12.

В математике говорят, что в ложности данного высказывания мы убедились, приведя контрпример.

Вообще истинность высказывания с квантором общности устанавливается путем доказательства. Показать ложность таких высказываний можно, приведя контрпример.