Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм

В математике рассматривают не только конъюнкцию и дизъюнкцию высказываний, но и выполняют соответствующие операции над высказывательными формами.

Конъюнкцию одноместных высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве Х, обозначают А(х) В(х). С появлением этого предложения возникает вопрос, как на его множество истинности, зная множества истинности высказывательных форм А(х) и В(х). Другими словами, при каких значениях х из области определения X высказывательная форма А(х) В(х) обращается в истинное высказывание? Очевидно, что это возможно при тех и только тех значениях х, при которых обращаются в истинное высказывание обе высказывательные формы А(х) и В(х). Если обозначить Т_А- множество истинности предложения А(х), Т_В- множество истинности предложения В(х), а множество истинности их конъюнкции Т_{А В}, то, по всей видимости, Т_{А В} = Т_А Т_В.

Докажем это равенство.

1. Пусть а - произвольный элемент множества X и известно, что а Т_{А В}. По определению множества истинности это означает, что высказывательная форма А(х) В(х) обращается в истинное высказывание при х = а, т е. высказывание А(а) В(а) истинно. Так как данное высказывание конъюнкция, то, по определению конъюнкции, получаем, что каждое из высказываний А (а) и В(а) также истинно. Это означает, что а Т_А и а Т_В. Следовательно, по определению пересечения множеств, а Т_А Т_В. Таким образом, мы показали, что

Т_{А В} Т_А Т_В,

2. Докажем обратное утверждение. Пусть а - произвольный элемент множества X и известно, что а Т_А Т_В. По определению пересечения множеств это означает, что а Т_А и а Т_В, откуда получаем, что А(а) и В(а) - истинные высказывания, поэтому конъюнкция высказываний А(а) В(а) также будет истинна. А это означает, что элемент а принадлежит множеству истинности высказывательной формы А(х) В(х), т.е. а е Т А_{А В}. Таким образом, мы доказали, что Т_А Т_В Т_{А В}.

Из 1 и 2 в силу определения равных множеств вытекает справедливость равенства Т_{А В} = Т_А Т_В, что и требовалось доказать.

Заметим, что полученное правило справедливо и для высказывательных форм, содержащих более одной переменной.

Приведем пример использования этого правила. Найдем множество истинности конъюнкции двух неравенств 1х > 10 и 4 + х < 12, т.е. множество истинности предложения 2х> 10 и 4 + х< 12. Пусть Т₁- множество решений неравенства 2х > 10, а Т₂- множество решений неравенства 4 + х < 12. Тогда Т₁ = (5, +∞), Т₂ = ( - ∞, 8). Чтобы найти те значения х, при которых истинны оба неравенства, надо найти пересечение их множеств решений: Т₁ Т₂ = (5,8).

Видим, что выполнение этого задания свелось к решению системы неравенств. Вообще с точки зрения логики любая система неравенств есть конъюнкция неравенств, так же как и система уравнений есть конъюнкция уравнений.

Дизъюнкцию одноместных высказывательных форм А(х) и В(х) заданных на множестве X, обозначают A(x)vB(x). Это предложение будет обращаться в истинное высказывание при тех и только тех значениях х из области определения X, при которых обращается в истинное высказывание хотя бы одна из высказывательных форм, т.е. T_AvB = Т_А Т_В.

Доказательство этого равенства проводится аналогично рассмотренному выше.

Приведем пример использования этого правила. Решим, например, уравнение (х - 2)∙(х + 5) = 0. Известно, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это означает, что данное уравнение равносильно дизъюнкции: x-2 = 0 c + 5 = 0 и поэтому множество его решений может быть найдено как объединение множеств решений первого и второго уравнений, т.е. {2} {-5} = {-5, 2}.

Заметим, что дизъюнкцию уравнений (неравенств) называют также совокупностью. Решить совокупность уравнений (неравенств) - это значит найти те значения переменных, при которых истинно хотя бы одно из уравнений (неравенств), входящих в нее.

Рассматривая конъюнкцию и дизъюнкцию высказывательных форм, мы установили их тесную связь с пересечением и объединением множеств.

С другой стороны, характеристические свойства элементов пересечения и объединения множеств А и В представляют собой соответственно конъюнкцию и дизъюнкцию характеристических свойств данных множеств:

А В={х‌‌│х А и х B},A B={x│x A или х В}, причем каждое свойство представляет собой высказывательную форму.