Структура теоремы. Виды теорем

Понятие логического исследования позволяет уточнить ряд вопросов, связанных с предложениями, которые в математике называют теоремами.

Теорема - это высказывание, истинность которого устанавливается посредством рассуждения (доказательства).

С логической точки зрения теорема представляет собой высказывание вида А В, где А и В - высказывательные формы с одной или несколькими переменными. Предложение А называют условием теоремы, а предложение В - её заключением.

Например, условием теоремы «если четырехугольник является прямоугольником, то в нем диагонали равны» является предложение «четырехугольник- прямоугольник», а заключением - предложение «в таком четырехугольнике диагонали равны».

В рассмотренном примере теорема была сформулирована с помощью слов «если ..., то ...». Но, как нам известно, утверждение А => В можно сформулировать и по-другому. Например, рассмотренную теорему можно сформулировать так: «во всяком прямоугольнике диагонали равны» или «для того, чтобы четырехугольник был прямоугольником, необходимо, чтобы его диагонали были равны». Есть и другие способы, но удобнее теорему формулировать в виде «если ..., то ...», поскольку сразу видно ее условие (что дано) и заключение (что надо доказать).

В математике кроме теорем используются предложения, называемые правилами и формулами. Выясним, чем они отличаются от теоремы.

Рассмотрим, например, такую теорему из школьного курса алгебры: «если а - любое число и n, k - натуральные числа, то справедливо равенство аⁿ∙а^k = а^{n + k}. Условие данной теоремы - это предложение «а- любое число» и «n, k - натуральные числа». Заключение - это равенство аⁿ∙а^к = а^n+k, справедливость которого надо доказать, исходя из данного условия.

Для того чтобы этой теоремой было удобнее пользоваться на практике, при выполнении различных преобразований ее формулируют в виде правила: «при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются» или записывают только формулу аⁿ∙а^k = а^{n + k}, опуская все условия, указанные в теореме. Такие упрощения позволяют быстрее запоминать правила и формулы. Эту особенность математического языка широко используют в начальном курсе обучении математике, но при этом формулируют различные утверждения сразу в виде правил или формул, опуская точные формулировки теорем (и, следовательно, опуская, по сути дела, условие теоремы). Но учитель, конечно, должен уметь разворачивать изучаемые в начальной школе правила (формулы) и формулировать соответствующие им теоремы. Иначе возможны ошибки как содержательного, так и логического характера. Рассмотрим, например, изучаемое в начальном курсе математики правило деления суммы на число: «для того, чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое из слагаемых и полученные результаты сложить». К этой словесной формулировке правила иногда добавляют формулу: (а + b):с = а:с + b:с.

Так как этот материал изучают в начальной школе, то надо отчетливо понимать, что числа а, b и с могут быть только целыми неотрицательными, причем с≠0. Кроме того, воспользоваться правой частью этого равенства можно при условии, что а кратно с и b кратно с.

Таким образом, теорема, лежащая в основе правила деления суммы на число, может быть сформулирована следующим образом: «Если а, b и с - целые неотрицательные числа (с≠0) и а кратно с и b кратно с, то разделить сумму а + b на число с можно, разделив на это число каждое из слагаемых».

Если воспользоваться символами, то условие и заключение этой теоремы можно записать так:

условие: а, b, с Zo, с≠0; а с, b с

заключение: (а + b):с=а:с + b:с.

Для всякой теоремы вида «если А, то В» можно сформулировать предложение «если В, то А», которое называют обратным данному. Однако не всегда это предложение является теоремой. Рассмотрим, например, теорему: «если четырехугольник является прямоугольником, то в нем диагонали равны». По-

строим предложение, обратное данному: «если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником». Это высказывание ложное, в чем можно убедиться, приведя контрпример: в равнобедренной трапеции диагонали равны, но трапеция не является прямоугольником.

Рассмотрим теперь теорему «в равнобедренном треугольнике углы при основании равны». Обратное ей предложение таково: «если в треугольнике углы при основании равны, то этот треугольник - равнобедренный». Оно, как известно, истинное и поэтому является теоремой. Ее называют теоремой, обратной данной.