Колебательное звено

.

Подставив в уравнение (1.63.) значение b₀ = 0, получим дифференциальное уравнение второго порядка (уравнение состояния) следующего вида:

a₀ y′′( t) + a₁ y′ (t) + a₂ y (t) = b₁ x (t)(1.89.)

Передаточная функция звена 2 порядка может быть найдена с помощью преобразования по Лапласу и будет иметь следующий вид:

где k = b₀/a₀ – передаточный коэффициент звена, размерность которого определяется отношением размерности выходного параметра к размерности входного в статическом режиме, - постоянная (времени) инерционности звена, с ее увеличением возрастает время изменения величины выходного параметра, при изменении входного. - коэффициент демпфирования (затухания), чем он больше, тем быстрее затухают колебания. Корни уравнения знаменателя из выражения (1.90.) характеризуют переходной процесс звена, приравняем уравнение к нулю:

Так как pявляется комплексным числом, корни данного уравнения могут быть вещественными, мнимыми и комплексно-сопряженными. Для общего случая корни будут выглядеть, как:

где является постоянной времени затухания, - собственная частота колебаний. Значением коэффициента x определяются динамические характеристики колебательного звена. Звено является колебательным только при

0 < x < 1, в этом случае, переходная функция имеет затухающий характер.

Передаточная функция колебательного звена в этом случае будет выглядеть:

Переходную функцию получим, применив обратное преобразование Лапласа:

(1.94.)

при этом параметр начальной фазы переходного процесса.

Графики временных характеристик колебательного звена представлены на рисунке 36.

Рис.36. Графики временных характеристик колебательного звена

При x = 0 колебательное звено называется консервативным, оно характеризуется незатухающими колебаниями на выходе. Консервативное звено представляет собой идеализированный генератор гармонических сигналов, работающий без потерь энергии.

Передаточная функция консервативного звена будет иметь вид:

(1.95.)

При x ≥ 1 колебательное звено представляет собой апериодическое звено 2 порядка.

Апериодическое звено 2 порядка можно рассматривать, как последовательное соединение апериодических звеньев 1 порядка, о которых упоминалось выше.

АФЧХ колебательного звена выражается в виде:

(1.96.)

Действительная частотная характеристика звена Re(w) будет определяться первым слагаемым данного выражения, мнимая частотная характеристика Im(w) – вторым.

Графическое представление частотных характеристик колебательного звена представлено на рисунке 37.

Величина ω_сп определяется, как точка пересечения асимптот, и ее численное значение равно ω_сп = 1/ T.

Рис.37. Графики частотных характеристик колебательного звена

Анализируя ЛАЧХ И ЛФЧХ, можно заметить, что при увеличении частоты входных колебаний до частоты ω_сп, амплитуда выходных колебаний постоянна, а при увеличении частоты входных колебаний более ω_сп, амплитуда выходных колебаний начинает уменьшаться. Следовательно, колебательное звено фильтрует высокие частоты.

Сдвиг по фазе между входными и выходными параметрами колебаний отрицателен и с увеличением частоты стремится к значению –π.

С помощью степени затухания Ψ оценивают скорость затухания колебательного процесса, степень затухания представляют как:

где А₁и А₂– соседние амплитуды.

Следовательно, чем ближе Ψ к единице, тем быстрее затухает колебательный процесс, а чем Ψ ближе к нулю, тем затухание колебательного процесса происходит медленнее. Величина Ψ зависит от соотношения вещественной α и мнимой β частей комплексных корней характеристического уравнения, поэтому может быть представлена в виде:

Степенью колебательности называют отношение мнимой части комплексного корня к вещественной части, выраженное как:

μ = β /α (1.96.3.)

Ψ =1−e^{−2π /μ} (1.96.4.)