Предел последовательности и функции. Свойства пределов
Одним из основных понятий математики является понятие множества. Это понятие первоначально, и его не определяют с помощью более простых понятий. Можно сказать, что множество – это семейство, совокупность, класс, система. Объекты или предметы, составляющие данное множество, называются его элементами. Если есть элемент множества , то говорят, что принадлежит и записывают . Множество называется конечным, если оно содержит конечное число элементов. Бесконечное множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел, например, счетным является множество чисел ; множество чисел, удовлетворяющих условию , не является счетным. Множество называется упорядоченным, если в нем введено отношение порядка между элементами.
Пусть счетное множество, среди элементов которого могут быть одинаковые. Сопоставим каждому элементу из свое натуральное число и напишем это в виде индекса у соответствующего элемента ; получим . Примем число за порядковый номер элемента .
Упорядоченное счетное множество, элементы которого занумерованы и расположены в порядке возрастания номеров , называется последовательностью и обозначается символом .
Число называется пределом последовательности при стремлении к бесконечности, если для каждого положительного существует положительное число такое, что для всех выполняется неравенство . При этом пишут: .
Рассмотрим прежде всего следующие примеры функции: при значениях , близких к (рис.1).
Графики этих функций либо пересекают ось абсцисс, либо касаются ее в точке . В случае график расположен в области положительных ординат и только в точке касается оси абсцисс. В других случаях графики пересекают ось абсцисс и ординаты принимают значения разных знаков по обе стороны точки .
Что можно сказать о значениях функции (не о графике) в этих случаях? Ответ: значения функции сколь угодно малы по абсолютной величине, если соответствующие значения аргумента достаточно близки к .
Отвлекаясь от примеров, приходим к следующей предварительной формулировке понятия бесконечно малой функции. Функция называется бесконечно малой при стремлении к , если ее значения сколь угодно малы по абсолютной величине при всех значениях , достаточно близких к .
В дальнейшем часто будем пользоваться такими оборотами речи: «значения функции сколь угодно малы по абсолютной величине», «переменная принимает значения, достаточно близкие к ». Выясним их точный смысл.
Часть фразы «значения функции сколь угодно малы по абсолютной величине» будем понимать в том смысле, что неравенство выполняется для каждого наперед заданного положительного числа , как бы мало оно ни было.
Часть фразы «значения аргумента достаточно близки к » или «значения аргумента достаточно мало отличаются от числа » следует понимать в том смысле, что неравенство выполняется для некоторого положительного числа .
Определение1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки .
Функция называется бесконечной малой при стремлении к , если для каждого положительного сколь угодно малого существует соответствующее положительное число такое, что выполняется неравенство для каждого , удовлетворяющего условию .
Тот факт, что является бесконечно малой при стремлении к , записывают символически так: или при .
Если функция представляется в виде суммы постоянного числа и бесконечно малой : , то . Обратно, если , то можно записать , где бесконечно малая.
Определение2. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки .
Функция называется бесконечной большой при стремлении к , если для каждого положительного как угодно большого числа существует соответствующее положительное число такое, что выполняется неравенство для всех значений , удовлетворяющих условию .
Тот факт, что является бесконечно большой функцией при стремлении к , записывают символически так: .
Определение3. Число называется пределом функции при стремлении к , если для каждого положительного числа существует соответствующее положительное число такое, что при условии выполняется неравенство .
Если неравенство выполняется при условии , то число называется пределом справа и обозначается символом .
Если неравенство выполняется при условии , то число называется пределом слева и обозначается символом .
Основные свойства пределов:
1) ;
2) ;
3) ;
4) если переменная величина возрастающая, т.е. всякое ее последующее значение больше предыдущего, и если она ограничена, т.е. , то эта переменная величина имеет предел ;
5) если между соответствующими значениями трех функции выполняются неравенства , при этом , то .
Предел функции при
Функция не определена при , т.к. числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Найдем предел этой функции при .
Рассмотрим окружность радиуса 1 (рис.2); обозначим центральный угол через , при этом . Из рисунка непосредственно следует:
Площадь < площади сектора < площади (1)
;
;
.
Неравенства (1) после сокращения на перепишется так:
Разделив все члены на , получим или . Это неравенство выведено в предположении, что ; замечая, что , заключаем, что оно верно и при . Вычислим предел
Однако и на основании свойства (5) о пределах
( 2 )
Предел функции при
Предварительно рассмотрим переменную величину , где возрастающая переменная величина, принимающая значения натурального ряда чисел 1, 2, 3, . . .
Теорема. Переменная величина при имеет предел, заключенный между числами 2 и 3.
Доказательство. По формуле бинома Ньютона имеем:
( 3 )
Произведя элементарные алгебраические преобразования, получим:
Из последнего равенства следует, что переменная величина возрастающая переменная величина при возрастающем .
Действительно, при переходе от значения к значению каждое слагаемое последней суммы возрастает и т.д. и добавляется еще один член.
Покажем, что эта величина ограничена. Заметим, что и т. д. Тогда
Замечая, что , можем написать неравенство , но образуют геометрическую прогрессию со знаменателем и первым членом . Следовательно, ;
Получаем неравенство , т.е. переменная величина ограничена. Возрастающая и ограниченная последовательность имеет предел ( п.4 свойства пределов). Этот предел обозначается буквой , таким образом,
Число иррациональное число.
Число принято за основание системы логарифмов, называемых натуральными. Натуральный логарифм обозначается символом . Установим связь между натуральными и десятичными логарифмами. Для этого, логарифмируя по основанию тождество , получим равенство . При это равенство дает . При то же равенство дает .
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 1836;