Задачи, приводящие к понятию производной.

З а д а ч а о с к о р о с т и д в и ж у щ е й с я т о ч к и . Рассмотрим движущуюся прямолинейно точку. Пройденный ею путь , отсчитываемый от определенной точки прямой, есть функция времени . Движение считается заданным, когда известно уравнение движения: . Требуется найти скорость движущейся точки.

Рассмотрим два момента времени и . Моменту времени соответствует положение точки и пройденный ею путь, равный . Моменту времени соответствует положение точки и пройденный ею путь (рис. 3). Поэтому за промежуток времени между и точка пройдет путь, равный . Средняя скорость на участке пути равна . Эта скорость воображаемого равномерного движения. Средняя скорость меняется вместе с изменением и тем лучше характеризует движение в промежутке , чем меньше . Поэтому правильное представление о скорости движения дает предел средней скорости при стремлении к нулю. Скоростью точки в данный момент времени зазывают предел средней скорости при стремлении к нулю:

.

З а д а ч а о к а с а т е л ь н о й к д а н н о й к р и в о й . Касательной к кривой в данной ее точке называется предельное положение секущей , когда точка вдоль по кривой стремится к точке (рис. 4). Угловым коэффициентом прямой ( в частности, касательной) называется тангенс угла, образованного этой прямой с осью (угол отсчитывается от оси против часовой стрелки); он обозначается обычно буквой . Требуется найти угловой коэффициент касательной к кривой, заданной уравнением в точке с абсциссой . Для этого возьмем на кривой точку и близкую к ней точку . Проведем секущую и обозначим через угол наклона секущей. Согласно построению (рис. 4) имеем , где ,

. Следовательно, . Если теперь устремить к нулю, то точка , перемещаясь вдоль по кривой, устремится к точке , а угол будет стремиться к (если кривая имеет касательную в точке ). Зная угловой коэффициент секущей, исходя из определения касательной как предельного положения секущей, можем найти угловой коэффициент касательной .

Если сопоставить операции, которые были выполнены при решении задач, и отвлечься от различия в истолковании переменных, то мы увидим, что каждый раз приращение функции делилось на приращение независимой переменной и затем вычислялся предел их отношения. Так приходим к основному понятию дифференциального исчисления – к понятию производной.

Пусть функция определена в некоторой окрестности фиксированного . Рассмотрим точку из этой окрестности и вычислим соответствующее приращение функции .

Определение. Производной функции по независимой переменной при данном значении называется конечный предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению независимой переменной при стремлении к нулю, если этот предел существует:

.

Для обозначения производной приняты следующие символы: .

Если отношение к при имеет предел справа (или слева), то он называется производной справа (или слева). Такие пределы называются односторонними производными.

Операция нахождения производной функции называется ее дифференцированием.

Геометрическое значение производной установлено при решении задачи о касательной к данной кривой: производная функции в точке численно равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой .

Механическое значение производной установлено при решении задачи о скорости движущейся точки: скорость прямолинейно движущейся точки есть производная от пройденного пути по времени.

Из определения производной вытекает схема ее вычисления:

1. Пусть дана функция . Даем независимой переменной приращение

2. Находим соответствующее приращение функции

3. Составляем отношение

4. Находим предел этого отношения и получаем производную .