Непрерывность функции

Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел при стремлении к и этот предел равен значению функции в точке :

Если это условие не выполнено, то точка называется точкой разрыва функции .

Для непрерывности функции в точке необходимо (как, впрочем, и достаточно), чтобы она была определена в этой точке, чтобы существовали односторонние пределы слева и справа: и чтобы имело место равенство трех чисел .

Если существуют односторонние пределы, но нарушено какое-либо из этих равенств, то называется точкой разрыва первого рода функции .

Если хотя бы один из односторонних пределов не существует (в частности, равен , то называется точкой разрыва второго рода функции .

Непрерывные функции обладают следующими свойствами:

Теорема 1. Сумма, разность, произведение и частное двух функций, непрерывных в точке , также являются функциями, непрерывными в точке (в случае частного предполагается, что знаменатель не обращается в нуль в этой точке).

Теорема 2. Все основные элементарные функции непрерывны там, где они определены.

Теорема 3. Сложная функция, составленная из непрерывных функций, непрерывна.

Теорема 4. (Теорема Вейерштрасса). Функция , непрерывная в замкнутом промежутке , достигает в этом промежутке своего наибольшего и своего наименьшего значений, т.е. существуют такие точки и промежутка , что выполняются неравенства и .