Скалярное произведение двух векторов

Углом между векторами и называется угол , на который следует повернуть один из векторов, для того чтобы их направления совпали (рис.3).

Условимся в дальнейшем под углом между двумя векторами понимать угол , удовлетворяющий условию .

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними и обозначается или , таким образом

(6)

Теорема 1. Для того, чтобы два вектора были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю.

Доказательство. 1. Необходимость. Пусть векторы и ортогональны, т.е. . Тогда , и согласно формуле (6) скалярное произведение равно нулю.

2. Достаточность. Пусть . Если один из векторов является нулевым, то утверждение доказано, т.к. нулевой вектор имеет неопределенное направление и его можно считать ортогональным любому вектору. Если же и , то и . Тогда из формулы (6) и условия следует, что . Значит , т.е. векторы и ортогональны.

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1) ;

2) ;

3) Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию второго вектора на первый, т.е.

;

4) ;

5)

Пусть даны два вектора, разложенные по базису :

.

Найдем

. Принимая во внимание, что базис ортонормированный, т.е. , получим . Таким образом, скалярное произведение двух векторов, заданных координатами равно сумме произведений одноименных координат, т.е.

( 7 ).

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов, заданных координатами является:

( 8 )

Из формулы (6) получим формулу для косинуса угла между векторами и :

( 9 )