Контрольная работа №1

Задание 1. Для матрицы третьего порядка вычислите ее определитель

и определитель матрицы, транспонированной к данной.

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ;

13. ; 14. ; 15. ;

16. ; 17. ; 18. ;

19. ; 20.

Задание 2. Вычислите определитель четвертого порядка

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ;

13. ; 14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ;

19. ; 20.

Задание 3. Найдите матрицу, обратную матрице. Проверьте результат, вычислив произведение взаимно обратных матриц.

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20.

Задание 4. Решите систему линейных уравнений матричным способом.

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20.

Задание 5. Решите систему линейных уравнений по формулам

Крамера.

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8 . ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20.

Задание 6. Найдите все решения однородной системы линейных уравнений методом Гаусса.

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16 ;

17. ; 18. ;

19. ; 20.

Задание 7. Даны координаты векторов а₁, а₂, а₃, а₄ и b в некотором базисе. Покажите, что векторы а₁, а₂, а₃, а₄ образуют базис и найдите координаты вектора b в этом базисе.

1. а₁(1,2,-1,-2); а₂(2,3,0,1); а₃(1,2,1,3); а₄(1,3,-1,0);b(7,14,-1,2).

2. а₁(2,1,0,-1); а₂(2,3,0,-2); а₃(2,4,2,1); а₄(0,-3,0,2);b(5,2,1,0).

3. а₁(1,1,4,2); а₂(2,-1,3,1); а₃(0,2,0,0); а₄(1,-1,0,1);b(5,0,0,5).

4. а₁(1,2,3,4); а₂(2,3,4,1); а₃(3,4,1,2); а₄(4,1,2,3);b(2,2,2,4).

5. а₁(2,0,0,0); а₂(0,4,0,0); а₃(0,0,6,0); а₄(0,0,0,8);b(6,7,0,1).

6. а₁(1,2,-1,-2); а₂(2,3,0,1); а₃(1,2,1,3); а₄(1,3,-1,0);b(6,7,0,1).

7. а₁(2,3,4,5); а₂(3,4,5,2); а₃(4,5,2,3); а₄(5,2,3,4);b(-1,2,1,-2).

8. а₁(3,5,-1,-1); а₂(3,5,1,4); а₃(2,5,0,3); а₄(1,3,-1,0);b(7,14,-1,2).

9. а₁(4,4,0,-3); а₂(4,7,2,-1); а₃(2,1,2,3); а₄(0,-3,0,2);b(5,2,1,0).

10. а₁(3,0,7,3); а₂(2,1,3,1); а₃(1,1,0,1); а₄(1,-1,0,1);b(5,0,0,5).

11. а₁(3,5,7,5); а₂(5,7,5,3); а₃(7,5,3,5); а₄(4,1,2,3);b(2,2,2,4).

12. а₁(2,4,0,0); а₂(0,4,6,0); а₃(0,0,6,8); а₄(0,0,0,8);b(-14,6,0,1).

13. а₁(1,2,-1,-2); а₂(3,5,-1,-1); а₃(3,5,1,4); а₄(2,5,0,3);b(6,7,0,1).

14. а₁(2,1,0,-1); а₂(4,4,0,-3); а₃(2,7,2,-1); а₄(2,1,2,3);b(-3,2,5,0).

15. а₁(5,7,9,7); а₂(7,9,7,5); а₃(9,7,5,7); а₄(5,2,3,4);b(-1,2,1,-2).

16. а₁(1,3,5,3); а₂(3,5,3,2); а₃(5,3,1,3); а₄(3,0,1,2);b(-6,0,2,-3).

17. а₁(-1,1,3,1); а₂(1,3,1,-1); а₃(3,-1,-1,1); а₄(2,-1,0,1);b(-3,6,7,-2).

18. а₁(0,1,2,3); а₂(1,2,3,0); а₃(2,3,0,1); а₄(3,0,1,2);b(-6,0,2,-3).

19. а₁(-1,0,1,2); а₂(0,1,2,-1); а₃(1,2,-1,0); а₄(2,-1,0,1);b(-3,6,7,-2).

20. а₁(4,4,3,0); а₂(-17,24,1,1); а₃(-6,-1,2,0); а₄(-5,3,1,0);b(-9,10,1,1).

Задание 8

По координатам вершин пирамиды а₁ а₂ а₃ а₄ найти:

1) длины ребер а₁ а₂ и а₁ а₃;

2) угол между ребрами а₁ а₂ и а₁ а_з;

3) площадь грани а₁ а₂ а₃;

4) объем пирамиды а₁ а₂ а₃ а₄;

5) уравнения прямых а₁ а₂ иа₁ а₃;

6) уравнения плоской а₁ а₂ а₃ иа₁ а₂ а₄ ;

7) угол между плоскостями а₁ а₂ а₃ иа₁ а₂ а₄;

8) угол между ребром а₁ а₃ и гранью а₁ а₂ а₄ ;

9) уравнение высоты, опущенной из вершины а₄ на грань а₁ а₂ а₃ ;

10) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из вершины а₄ на грань а₁ а₂ а₃ , и вершину а₁ пирамиды ;

11) расстояние от вершины.а₃до плоскости а₁ а₂ а_4.

Задание 9

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно плоскостям a и b:

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М₁, М₂ перпендикулярно плоскости a :

Задание 10

Составить канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей a и b:

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку А параллельно прямой ℓ:

	А	ℓ
	(3;1;-1)	X+5y+2=0 3х+4y+2z-8=0
	(2;0;-3)
	(-4;3;0)	x-2y+z-4=0 2x+y-z=0
	(2;-5;9)	2x-3y-3z-9=0 x-2y+3=0

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку А перпендикулярно прямым ℓ₁ и ℓ₂:

	А	ℓ1	ℓ2
	(2;-3;4)
	(0;1;1)
	(2;-3;4)	x=t;y=t;z=2t+5	x=3t+8;y=2t-4;z=t+2
	(0;1;-1)	x=3t+1;y=15t;z=7t-2	x=t;y=2t-5;z=6
	(0;-1;1)	x=2t;y=t-5;z=3t-2	x=4t-1;y=4t+6;z=t-4

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки а₁ и а₂:

Задание 11

Найти проекцию точки А на плоскости a:

Найти точку, симметричную точке А относительно плоскости а:

Найти точку, симметричную точке А относительно прямой ℓ:

	А	ℓ
	(2;1;0)
	(4;3;10)
	(1;-1;2)
	(3;2;0)
	(2;-1;5)
	(0;0;0;)

Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскостиа с прямыми ℓ₁ и ℓ₂:

	А	ℓ1	ℓ2
	2x+y-3z=0
	3x-2y+z=0
	6x+3y-41=0
	3x-y-2z+5=0
	2x+3y+z-1=0

Составить уравнения прямой, лежащей в плоскости aи проходящей через точку пересечения плоскости a с прямой ℓ, перпендикулярно вектору `а:

	a	ℓ	_` а
	6x+3y-z-41=0		{1;2;1}
	x+2y=0		{3;-1;2}
	x+2y=0		{5;-1;2}
	3x-y-2z+5=0		{0;3;5}

Задание 12

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые ℓ₁ и ℓ₂:

	ℓ1	ℓ2
	x=2t+1;y=-t;z=t+1

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через прямую ℓ₁, параллельно прямой ℓ₂:

	ℓ1	ℓ2
	x=3t-1;y=-2t-3;z=-t+2	x=2t+2;y=3t-1;z=-5t+1

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку М параллельно прямымℓ₁ и ℓ₂:

	ℓ1	ℓ2	М
			(-2;0;0)
			(6;1;1)
			(1;2;1)
			(1;2;3)
			(0;0;2)

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые ℓ₁ и ℓ₂:

	ℓ1	ℓ2
	x=z-2;y=2z+1
		x=t+5;y=-4t-1;z=t-4
	x=t+1;y=-2;z=-t+1	x=2t;y=2t-2;z=-3t+2
		x=3t+7;y=2t+2;z=-2t+1
	x=2t-3;y=3t-2;z=-4t+6	x=t+5;y=-4t-1;z=t-4
	x=2t+1;y=3t-2;z=-6t+1