Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.

В этой главе мы изучим фигурах первого и второго порядка на плоскости и в пространстве.

§2.1.Декартова прямоугольная система координат.

2.1.1. Определение. Аффинной (декартовой) системой координатв трехмерном пространстве называется совокупность некоторой точки и произвольного базиса. При этом точка называется началом координат, а прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов – осями координат: первая – осью абсцисс (ОХ), вторая – осью ординат (ОY), третья – осью аппликат (OZ).

Замечание.

Аналогично определяются аффинные системы координат на плоскости и прямой.

2.1.2. Определение. Вектор, соединяющий начало координат с некоторой точкой, называется радиусом-вектором этой точки.

2.1.3. Определение. Координатами точки в аффинной системе координат называются координаты ее радиуса-вектора.

2.1.4. Определение. Аффинная система координат, базис которой является ортонормированным, называется прямоугольной декартовой системой координат.

2.1.5. Параллельный перенос осей.

Пусть новая система координат получена из старой сдвигом на вектор . Тогда

. Базисные орты в обеих системах одинаковы, поэтому координаты вектора есть координаты точки О’ в новой системе координат:

2.1.6. Кривые и поверхности.

Одним из основных вопросов аналитической геометрии является исследование линий на плоскости и поверхностей в пространстве.

2.1.6.1. Определение. Уравнение f(x, y) = 0 называется уравнением линии l на плоскости, если этому уравнению удовлетворяют координаты х, у всех точек М(х, у), лежащих на линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки P(х, у), не лежащей на кривой:

f(x, y) = 0 М(х, у) l,

f(x, y) 0 М(х, у) l.

2.1.6.2. Определение. Уравнение F(x, y, z) = 0 называется уравнением поверхности в пространстве, если этому уравнению удовлетворяют координаты х, y, z всех точек М(х, у, z), лежащих на поверхности, и не удовлетворяют координаты ни одной точки P(х, у, z), не лежащей на поверхности:

F(x, y, z) = 0 М(х, у, z) ,

F(x, y, z) 0 М(х, у, z) .

2.1.7. Две основные задачи аналитической геометрии.

I.Дано некоторое множество точек плоскости (пространства), обладающее некоторым набором свойств. Требуется составить уравнение (или систему уравнений), которое в некоторой системе координат задает это множество точек.

II (обратная). В заданной системе координат некоторое множество точек плоскости (пространства) описывается заданным уравнением (или системой уравнений). Требуется определить вид и основные свойства этого множества и построить его эскиз.

§2.2.Простейшие задачи аналитической геометрии.

2.2.1. Нахождение длины отрезка.

Пусть в заданной декартовой прямоугольной системе координат имеется две точки и . (Рис. 2.2).

Вектор .

Следовательно, длина отрезка .

2.2.2. Деление отрезка в заданном отношении.

Говорят, что точка М делит отрезок М₁М₂ в отношении , если . Найдем координаты точки М. На Рис. 2.3 изображен отрезок и его проекция на ось Ох.

Запишем векторное равенство и его проекции на оси координат.

В частном случае , т.е. когда точка М – середина отрезка, получаем, что координаты середины отрезка равны средним арифметическим координат концов:

§2.3. Прямая на плоскости.

2.3.1. Общее уравнение прямой.

2.3.1.1. Определение. Ненулевой вектор называется нормальным вектором прямой, если он перпендикулярен всякому вектору, лежащему на прямой.

2.3.1.2. Теорема. (Общее уравнение прямой)

Всякая прямая на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат задается уравнением первой степени.

Доказательство:

Пусть на плоскости задана точка и ненулевой вектор . В аналитической геометрии прямаязадается какгеометрическое место точек таких, что вектор ортогонален вектору .Таким образом, в векторном виде уравнение прямой записывается так:

.

(скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю).

Запишем последнее равенство в координатной форме: , , следовательно, А(х – х₀) + В(у – у₀) = 0. Преобразуем это уравнение:

Ах + Ву + (–Ах₀ – Ву₀) = 0. Обозначим С = –Ах₀ – Ву₀, тогда , это уравнение называется общим уравнением прямой.

.

2.1.3.3. Определение. Уравнение вида

(2.1)

называется общим уравнением прямой.

2.1.3.4. Определение. Уравнение вида

(2.2)

называется уравнением прямой, проходящей через точку с нормальным вектором .

2.1.3.5. Определение. Линии, которые в декартовой прямоугольной системе координат задаются уравнениями первой степени, называются линиями первого порядка.

2.3.1.6. Теорема. (О линиях первого порядка на плоскости)

Линиями первого порядка на плоскости являются прямые, и только они.

Доказательство:

То, что прямая на плоскости задается уравнением вида , то есть уравнением первой степени, доказано в теореме 2.1.3.2. Осталось доказать, что всякое уравнение вида при условии задает прямую на плоскости.

Пусть - некоторое решение уравнения (2.1). Тогда при подстановке его в уравнение мы получим тождество:

.

Вычтем полученное равенство из уравнения (2.1), получим

то есть уравнение прямой, проходящей через точку с нормальным вектором .

Таким образом, доказано, что всякое уравнение вида (2.1) при условии задает прямую и что всякая прямая на плоскости может быть задана уравнением вида (2.1).

2.3.1.7. Теорема. (О перпендикулярности прямой и вектора на плоскости)

Для того, чтобы прямая, заданная общим уравнением, была перпендикулярна вектору на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы координаты вектора были пропорциональны коэффициентам при переменных общего уравнения прямой, т.е.

Доказательство:

Очевидно, перпендикулярность прямой и вектора эквивалентно коллинеарности вектора и нормального вектора прямой, следовательно, по критерию коллинеарности (Следствие из теоремы 1.5.6) получаем требуемое.

2.3.1.8. Частные случаи общего уравнения прямой на плоскости.

1. - прямая, параллельная оси абсцисс;

2. - прямая, параллельная оси ординат;

3. - прямая, проходящая через начало координат;

4. - ось абсцисс;

5. - ось ординат.

2.3.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

2.3.2.1. Определение. Углом наклона прямой называется любой направленный угол, на который надо повернуть ось Ох, чтобы получить одно из направлений прямой.

Замечание.

Очевидно, все углы наклона прямой отличаются друг от друга на величину , поэтому их тангенсы равны.

2.3.2.2. Вывод уравнения прямой с угловым коэффициентом.

Рассмотрим точку принадлежащую прямой и произвольную точку . Очевидно, что если точка лежит на прямой, то (Рис. 2.5).

Обозначим .

Полагая , перепишем уравнение в виде

(2.3)

Геометрический смысл коэффициента состоит в том, что является ординатой точки пересечения прямой с осью Оу. Параметр k, который называют угловым коэффициентом прямой, равен тангенсу угла наклона прямой: .

Уравнение вида (2.3) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Замечание.

Так как , уравнение с угловым коэффициентом невозможно записать для прямых с , т.е. для прямых, параллельных оси Оу. Такие прямые имеют уравнение , где – абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох.

2.3.3. Связь между общим уравнением прямой и уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Запишем уравнение прямой с угловым коэффициентом . Обозначая , получим общее уравнение прямой .

Обратный переход: если в уравнении положить , то прямая не имеет углового коэффициента; если же , то . Обозначая , получим уравнение прямой с угловым коэффициентом .

2.3.4. Уравнение прямой в отрезках.

Рассмотрим прямую, не проходящую через начало координат и заданную своим общим уравнением . Представим данное уравнение в виде

.

Обозначая , получим уравнение

, (2.4)

которое называется уравнением прямой в отрезках.

Положив в этом уравнении х = 0, получим y = b; положив у = 0, получаем х = а. Таким образом, параметры а и b равны, соответственно, абсциссе и ординате концов отрезков, отсекаемых прямой на осях Ох и Оу. Отметим, что в отрезках может быть записана любая прямая, не проходящая через начало координат.

2.3.5. Угол между прямыми.

Пусть прямая l₁ задана уравнением у = k₁х + b₁,

прямая l₂ задана уравнением у = k₂х + b₂; тогда . Обозначим - угол между этими прямыми (Рис. 2.7).

Так как , то

.

Таким образом, .

Если прямые заданы своими общими уравнениями

l₁ : A₁x + B₁y + C₁ = 0, l₂ : A₂x + B₂y + C₂ = 0,

то

,

и

.

2.3.5.1. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

Из выражений для тангенса угла между прямыми следуют условия параллельности и перпендикулярности прямых:

В случае параллельности прямых l₁|| l₂ тангенс угла между ними

,

следовательно, k₁ = k₂, или А₁В₂ = А₂В₁, или .

В случае параллельности прямых , или А₁А₂ + В₁В₂ = 0.

2.3.6. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

Пусть прямая l задана общим уравнением , – произвольная точка плоскости. Очевидно, для любой точки М₁(x₁, y₁), лежащей на прямой, расстояние d от точки M₀до прямой l равно абсолютной величине проекции вектора на нормальный вектор . Пусть точка М₁ имеет координаты , тогда ,

и

Из принадлежности точки М₁ прямой l следует, что , т.е. .

Следовательно,

. (2.5)

Таким образом, чтобы найти расстояние от точки до прямой, достаточно подставить координаты точки в общее уравнение прямой и полученное число разделить на длину нормального вектора.

Лекция 5.

§2.4. Плоскость в пространстве.

2.4.1. Общее уравнение плоскости.

2.4.1.1. Определение. Вектор, перпендикулярный к плоскости, называется ее нормальным вектором.

2.4.1.2. Теорема. (Общее уравнение плоскости).

В декартовой прямоугольной системе координат плоскость задается уравнением первой степени.

Доказательство:

Пусть в пространстве задан ненулевой вектор , перпендикулярный плоскости и точка , принадлежащая плоскости. Очевидно, произвольная точка пространства принадлежит плоскости при условии, что вектор ортогонален вектору . Таким образом, получаем уравнение

.

(скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю).

В координатном виде это уравнение имеет вид

Преобразуем это уравнение: Обозначая , получим

2.4.1.3. Определение. Уравнение вида

(2.6)

называется уравнением плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор .

2.4.1.4. Определение. Уравнение вида

(2.7)

называется общим уравнением плоскости.

2.4.1.5. Связка плоскостей.

Связкой плоскостей называют совокупность плоскостей, проходящих через одну точку. Очевидно, уравнение при произвольных (не равных нулю одновременно) коэффициентах А, В, С есть уравнение связки плоскостей, проходящих через точку .

2.4.1.6. Определение. Поверхность в пространстве, которая в декартовой прямоугольной системе координат задается уравнением первой степени, называется поверхностью первого порядка.

2.4.1.7. Теорема. (О поверхностях первого порядка в пространстве).

Поверхностями первого порядка в пространстве являются плоскости, и только они.

Доказательство:

Поскольку мы уже доказали в теореме 2.4.1.2, что плоскость можно задать уравнением первого порядка, осталось доказать, что уравнение при условии задает плоскость.

Пусть - некоторое решение уравнения (2.7). Тогда при подстановке его в уравнение мы получим тождество:

.

Вычтем полученное равенство из уравнения (2.7), получим

,

то есть уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором .

Таким образом, доказано, что всякое уравнение вида (2.7) при условии задает плоскость и что всякая плоскость в пространстве может быть задана уравнением вида (2.7).

2.4.1.8. Частные случаи общего уравнения плоскости.

1. - плоскость, параллельная оси абсцисс;

2. - плоскость, параллельная оси ординат;

3. - плоскость, параллельная оси аппликат;

4. - плоскость, проходящая через начало координат;

5. - плоскость, параллельная координатной плоскости XOY;

6. - плоскость, параллельная координатной плоскости XOZ;

7. - плоскость, параллельная координатной плоскости YOZ;

8. - координатная плоскость XOY;

9. - координатная плоскость XOZ;

10. - координатная плоскость YOZ;

2.4.2. Угол между плоскостями.

Пусть даны две плоскости

с нормальным вектором

и с нормальным вектором . Очевидно, косинус угла между плоскостями равен косинусу угла между нормальными векторами, поэтому

. (2.8)

Замечание 1.

Если требуется определить острый угол между плоскостями, то

.

Замечание 2.

Из формулы угла между плоскостями следуют условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

1. Если плоскости параллельны и , то их нормальные векторы коллинеарны, то есть их координаты пропорциональны:

.

Если же выполняются равенства , то уравнения и определяют одну и ту же плоскость.

2. Если плоскости перпендикулярны, то их нормальные векторы ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю

.

2.4.3 Расстояние от точки до плоскости.

Пусть плоскость π задана уравнением , – произвольная точка пространства. Для любой точки , лежащей на плоскости, расстояние d от точки до плоскости π равно абсолютной величине проекции вектора на нормальный вектор .

Вектор , следовательно

Так как из принадлежности точки плоскости π следует, что , т.е. , то

. (2.9)

2.4.4. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Пусть даны три точки , и , не лежащие на одной прямой (т.е. векторы и не коллинеарны). Введем в задачу точку – текущую точку плоскости. Векторы , и лежат в одной плоскости, т.е. компланарны, следовательно, их смешанное произведение равно нулю: , или, в координатной форме,

. (2.10)

Уравнении вида (2.10) называется уравнением плоскости, проходящей через три данные точки.

2.4.5. Уравнение плоскости в отрезках.

Рассмотрим плоскость, не проходящую через начало координат и заданную своим общим уравнением . Представим данное уравнение в виде

.

Обозначая , получим уравнение

, (2.11)

которое называется уравнением плоскости в отрезках.К виду в отрезках может быть приведено уравнение всякой плоскости, не проходящей через начало координат.

Замечание.

Отметим, что точки с координатами (a;0;0), (0;b;0) и (0;0;c) являются точками

пересечения плоскости с осями координат.

Лекция 6.

§2.5.Прямая в пространстве.

2.5.1. Общие уравнения прямой.

В пространстве прямая определяется пересечением двух плоскостей: .

2.5.1.1. Определение. Система уравнений

(2.12)

называется общими уравнениями прямой в пространстве.

2.5.1.2. Теорема.

Система уравнений вида (2.12) задает прямую в пространстве тогда и только тогда, когда коэффициенты не пропорциональны коэффициентам .

Доказательство очевидно, так как пропорциональность коэффициентов эквивалентна параллельности плоскостей.

2.5.1.3. Определение. Пучком плоскостей называется совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую.

Замечание.

Если прямая определяется уравнениями двух плоскостей, принадлежащих пучку плоскостей, и , то уравнение пучка плоскостей можно представить в виде линейной комбинации данных уравнений, то есть . Полученное уравнение называется уравнением пучка плоскостей.

2.5.2. Определение. Ненулевой вектор , параллельный прямой , называется направляющим вектором прямой .

2.5.3. Векторное, параметрические и канонические уравнения прямой.

Пусть в пространстве задан ненулевой вектор и точка . Проведем прямую через точку в направлении вектора . Очевидно, произвольная точка принадлежит прямой при условии, что вектор коллинеарен вектору .

Так как вектор является ненулевым, условие коллинеарности векторов и имеет вид . Если – радиус-вектор точки , – радиус-вектор точки , то для любой точки М прямой выполняется , или

. (2.13)

Это уравнение называется векторным уравнением прямой в пространстве.

Запишем векторное уравнение (2.13) в координатной форме. Так как , , получим

(2.14)

Эти уравнения называется параметрическими уравнением прямой в пространстве.Исключим из этих уравнений параметр t: . Уравнения

(2.15)

называется каноническими уравнениями прямой в пространстве.

2.5.4. Связь общих уравнений прямой с параметрическими.

Для того, чтобы записать параметрические уравнения прямой, заданной своими общими уравнениями

необходимо:

1. Найти направляющий вектор прямой;

2. Найти точку, принадлежащую прямой.

Направляющий вектор находится как векторное произведение векторов нормали плоскостей, задающих прямую вектором и :

Для того, чтобы найти координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой, требуется решить систему из двух уравнений с тремя неизвестными. Так как векторы и неколлинеарны (их координаты непропорциональны), то эта система имеет решение.

Пример.

Пусть прямая задана своими общими уравнениями:

Найдем координаты нормальных векторов пересекающихся плоскостей, задающих прямую и . Следовательно, направляющий вектор прямой

.

Итак, . Найдем теперь какое-либо решение исходной системы уравнений. Складываем и вычитаем уравнения, получим:

Полагая , получим одну из точек, принадлежащих прямой .

Таким образом, имеем направляющий вектор и точку , следовательно, параметрические уравнения прямой имеют вид

Замечание.

Заметим, что уравнение одной и той же прямой можно записать разными способами. Это определяется произвольностью выбора точки, принадлежащей прямой, а также произвольностью выбора направляющего вектора. Так, например, в предыдущем примере мы могли положить и получить точку , а в качестве направляющего взять вектор , коллинеарный с найденным вектором . Тогда параметрические уравнения той же прямой, очевидно, принимают вид

2.5.5. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Пусть заданы две точки , и требуется найти уравнение прямой, проходящей через эти две точки. Очевидно, можно взять вектор в качестве направляющего вектора прямой, а в качестве точки, принадлежащей прямой, можно взять любую из точек М₁ или М₂. Следовательно, канонические уравнения прямой имеют вид:

(2.16)

2.5.6. Угол между прямыми.

Рассмотрим две прямые, заданные своими каноническими уравнениями

и .

Очевидно, угол между прямыми будет равен углу между их направляющими векторами и :

. (2.17)

В частности,

если прямые параллельны, то координаты их направляющих векторов пропорциональны

;

если прямые перпендикулярны, то их направляющие векторы ортогональны

.

§2.6.Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

2.6.1. Взаимное расположение прямой, заданной общими уравнениями, и плоскости.

В пространстве прямая может

а) пересекать плоскость;

б) быть параллельной плоскости;

в) лежать в плоскости.

Пусть плоскость задана общим уравнением

,

а прямая задана общими уравнениями

Тогда взаимное расположение прямой и плоскостью определяется системой трех линейных уравнений относительно трех неизвестных:

(2.18)

Если система уравнений (2.18) имеет единственное решение, то прямая и плоскость пересекаются; если у системы нет решений, то прямая параллельная плоскости; и, наконец, если у системы бесконечное множество решений, то прямая лежит в плоскости.

2.6.2. Взаимное расположение прямой, заданной параметрическими уравнениями, и плоскости.

Пусть плоскость задана общим уравнением

,

а прямая задана параметрическими уравнениями

Подставим параметрические уравнения в уравнение плоскости. Получим линейное уравнение относительно параметра t

. (2.19)

Если выполняется условие , то уравнение (2.19) разрешимо относительно параметра t

, (2.20)

и координаты точки пересечения прямой и плоскости имеют вид

где определяется из (2.20).

Если , при этом , то уравнение (2.19) не разрешимо относительно параметра t, то есть прямая не пересекает плоскость. Таким образом, условие параллельности прямой и плоскости имеет вид

Если же оба коэффициента уравнения (2.19) равны нулю, то оно справедливо для любого значения параметра, то есть имеет бесконечное множество решений. Следовательно, прямая лежит в плоскости при условии

2.6.3. Угол между прямой и плоскостью.

Угол между прямой и плоскостью (т.е. угол между прямой и ее проекцией на плоскость) связан с углом между прямой и нормалью к плоскости соотношением , поэтому

.

В частности, если векторы и коллинеарны, то есть

,

то прямая перпендикулярна плоскости.

2.6.4. Взаимное расположение двух прямых.

Две прямые в пространстве могут

а) быть компланарными, в том числе пересекаться, быть параллельными или совпадать;

б) не быть компланарными, то есть скрещиваться.

Пусть две прямые заданы своими каноническими уравнениями

, .

Прямые компланарны тогда, и только тогда, когда компланарны векторы , и . Таким образом, условие компланарности прямых l₁ и l₂ имеет вид

. (2.21)

Если при этом векторы , коллинеарны, т.е. , то прямые параллельны. Если, дополнительно, вектор