В третьем разделе мы занимались дифференцированием функций одной переменной и находили правила вычисления производных элементарных функций исходя из определения производной. Действие дифференцирования состояло в том, что была задана функция и по определенному правилу находили производную этой функции. Например,
(5.1)
и так далее. Пусть теперь задана производная неизвестной функции и требуется найти эту функцию. Действие нахождения неизвестной функции, когда известна производная этой функции, называется интегрированием (обратное действие дифференцирования). Например,
(5.2)
или в общем случае
(5.3)
В формулах (5.2) и (5.3) есть произвольная постоянная. для функции называется первообразной функцией ( ). Как следует из (5.3), заданная функция имеет бесконечное количество первообразных, так как не только , но и
(5.4)
Итак, чтобы найти первообразные данной функции, мы должны вычислить так называемый неопределенный интеграл от этой функции. Ниже приведем основные свойства неопределенного интеграла:
1. 2.
3. 4. (5.5)
Правила интегрирования элементарных функций можно получить из правил их дифференцирования. На самом деле имеем:
1. (5.6)
2. (5.7)
3. 4. (5.8)
5. 6. (5.9)
7. (5.10)
8. (5.11)
9. (5.12)
10. (5.13)
11. (5.14)
12. (5.15)
(
)
(
)
(
)
,
n
,
c
n
x
x
d
x
c
n
x
dx
x
n
n
n
n
-1
¹
+
+
=
Þ
+
+
=
+
+
ò
ò
j
j
j
Отметим, что полученные выше правила интегрирования элементарных функций инвариантны относительно аргумента (не меняются), то есть
(5.16)
(5.17)
(5.18)
и так далее.
Пользуясь правилами интегрирования функций и , и инвариантностью этих формул, можно получить следующие обобщенные формулы при
(5.1)
(5.2)
(5.3)
есть произвольная постоянная. 
для функции 
называется первообразной функцией ( 
). Как следует из (5.3), заданная функция 
имеет бесконечное количество первообразных, так как не только 
, но и
(5.4)
2. 
4. 
(5.5)
(5.6)
(5.7)
4. 
(5.8)
6. 
(5.9)
(5.10)
(5.11)
(5.12)
(5.13)
(5.14)
(5.15)
(5.17)
(5.18)
и 
, и инвариантностью этих формул, можно получить следующие обобщенные формулы при 
(5.19)
(5.20)
