Определение неопределенного интеграла и правила интегрирования элементарных функций.
В третьем разделе мы занимались дифференцированием функций одной переменной и находили правила вычисления производных элементарных функций исходя из определения производной. Действие дифференцирования состояло в том, что была задана функция и по определенному правилу находили производную этой функции. Например,
(5.1)
и так далее. Пусть теперь задана производная неизвестной функции и требуется найти эту функцию. Действие нахождения неизвестной функции, когда известна производная этой функции, называется интегрированием (обратное действие дифференцирования). Например,
(5.2)
или в общем случае
(5.3)
В формулах (5.2) и (5.3) 
есть произвольная постоянная. 
для функции 
называется первообразной функцией ( 
). Как следует из (5.3), заданная функция 
имеет бесконечное количество первообразных, так как не только 
, но и
(5.4)
Итак, чтобы найти первообразные данной функции, мы должны вычислить так называемый неопределенный интеграл от этой функции. Ниже приведем основные свойства неопределенного интеграла:
1. 
2. 
3. 
4. 
(5.5)
Правила интегрирования элементарных функций можно получить из правил их дифференцирования. На самом деле имеем:
1. 
(5.6)
2. 
(5.7)
3. 
4. 
(5.8)
5. 
6. 
(5.9)
7. 
(5.10)
8. 
(5.11)
9. 
(5.12)
10. 
(5.13)
11. 
(5.14)
12. 
(5.15)
Отметим, что полученные выше правила интегрирования элементарных функций инвариантны относительно аргумента (не меняются), то есть
(5.16)
(5.17)
(5.18)
и так далее.
Пользуясь правилами интегрирования функций 
и 
, и инвариантностью этих формул, можно получить следующие обобщенные формулы при 
(5.19)
(5.20)
Пример 5.1.Вычислить неопределенный интеграл 
Решение. 
Ответ: 
Пример 5.2.Вычислить неопределенный интеграл 
Решение. 
Ответ: 
Пример 5.3.Вычислить неопределенный интеграл 
Решение. 
Ответ: 
Пример 5.4.Вычислить неопределенный интеграл 
Решение. 
Ответ: 
Пример 5.5.Вычислить неопределенный интеграл 
Решение. 
Ответ: 
Пример 5.6.Вычислить неопределенный интеграл 
Решение. 
Ответ: 
Пример 5.7.Вычислить неопределенный интеграл 
Решение. 
Ответ: 
Пример 5.8.Вычислить неопределенный интеграл 
Решение. 
Ответ: 
Пример 5.9.Вычислить неопределенный интеграл 
Решение.
Ответ: 
Пример 5.10.Вычислить неопределенный интеграл 
Решение. 
Ответ: 
Пример 5.11.Вычислить неопределенный интеграл 
Решение. 
Ответ: 
Пример 5.12.Вычислить неопределенный интеграл 
Решение. 
Ответ: 
Пример 5.13.Вычислить неопределенный интеграл 
Решение. 
Ответ: 
Пример 5.14.Вычислить неопределенный интеграл 
Решение. 
Ответ: 
Дата добавления: 2021-05-28; просмотров: 291;
