Теорема 3.3. (теорема Коши).

Пусть функции и удовлетворяют следующим условиям:

1. и определены на сегменте ;

2. и дифференцируемы на интервале и

Тогда существует точка , что на интервале имеет место соотношение

(3.45)

где

Доказательство.Составим функцию , и заметим, что она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. На самом деле имеем:

1. определена на ;

2. дифференцируема на

Тогда по теореме Ролля существует точка , что

(3.46)

Отметим, что если то из (3.46) получим формулу Лагранжа (3.43).

При исследовании поведения сложной функции вокруг точки имеет смысл, если это возможно, представить эту функцию в виде суммы степенных функций с определенными коэффициентами. Особенно это актуально, когда в рассматриваемой задаче существует малый параметр. Известные математики Тейлор и Маклорен показали, что такая возможность есть.

Если функция дифференцируема раз в некоторой окрестности точки , то она может быть представлена в виде суммы многочлена степени по формуле Тейлора и остаточного члена , например, в форме Лагранжа:

(3.47)

где При из формулы (3.47) получим формулу Маклорена

(3.48)

где

Пример 3.49. Разложить по формуле Маклорена (3.48) функцию

Решение.Имеем

(3.49)

Подставляя (3.49) в (3.48), получим

(3.50)

Ответ:

Аналогично можно получить разложения по формуле Маклорена для следующих функций:

1. (3.51)

2. (3.52)

(3.53)

3. (3.54)

Пример 3.50. Разложить по формуле Тейлора (3.47) функцию вокруг точки

Решение.Имеем

(3.55)

Подставляя (3.55) в (3.47), получим

(3.56)

где остаточный член в форме Пеано выражается формулой Последнее означает, что остаточный член более высокого порядка малости по сравнению с бесконечно малой при

Ответ:

Пример 3.51.Дана кривая На дуге этой кривой найти точку в которой касательная параллельна хорде если и

Решение.Функция дифференцируема при всех значениях По теореме Лагранжа между и существует точка в которой имеет место равенство

(3.57)

Подставляя в (3.57) соответствующие данные, получим

Итак, точка имеет координаты

Ответ:

Задачи с ответами.

3.4.1. Вычислить предел

Ответ:

3.4.2. Вычислить предел

Ответ:

3.4.3. Вычислить предел

Ответ:

3.4.4. Вычислить предел

Ответ:

3.4.5. Вычислить предел

Ответ:

3.4.6. Вычислить предел

Ответ:

3.4.7. Исследовать функцию на непрерывность

Ответ:Разрыв первого родапри .

3.4.8. Найти производную по второго порядка

Ответ:

3.4.9. Найти производную по пятого порядка, применяя формулу Лейбница

Ответ:

3.4.10. Вычислить предел, пользуясь правилами Лопиталя

Ответ:

3.4.11. Разложить функцию по степеням , пользуясь формулой Тейлора.

Ответ:

3.4.12. Найти экстремумы (max и min) данной функции

Ответ:

3.4.13. Найти асимптоты данной линии

Ответ:

3.4.14. Функция полных издержек в зависимости от объема выпускаемой продукции задана соотношением: При каком объеме производства предельные и средние издержки совпадают?

Ответ:

3.4.15. Завод производит единиц продукции в месяц, при этом издержки производства определяются формулой а цена – При каком объеме продукции прибыль будет максимальной? Какова при этом цена продукции?