Определение предела функции одной переменной по Коши. Замечательные пределы.

Определение 3.4.Говорим, что является пределом функции при если для произвольного заранее взятого положительного числа существует зависящего от такое положительное число , что из неравенства следует неравенство

На языке символики определение 3.4 имеет вид:

(3.1)

Если раскрыть знаки модулей в (3.1), то получим

. (3.2)

Последние неравенства показывают, что есть предел при если выполняется условие: когда значения попадают в окрестность точки значения функции должны попасть в окрестность точки (рис. 3.5).

Отметим, что основой теории пределов функций одной независимой переменной являются два замечательных предела. Ниже приведем их без доказательства.

Первый замечательный предел – (3.3)

Второй замечательный предел – (3.4)

Заметим, что эти пределы инварианты (остаются неизменными) относительно аргумента, то есть

(3.5)

Отметим также, что вычисление пределов основывается на следующих свойствах:

1. 2. (3.6)

3. (если ).

4. где

При вычислении предела пункта 4 учли, что предел от постоянного числа равен самому

числу . Свойство пункта 4 показывает, что постоянный множитель можно вынести из

под знака предела.