Непрерывность функции в точке. Классификация разрывов.
Определение 3.5.Функция называетсянепрерывной в точке
если удовлетворяется условие
(3.16)
где левосторонний и правосторонний пределы конечные числа. Если в (3.16) что-то нарушается, то функция терпит разрыв. Ниже приведена классификация разрывов.
1. Устранимый разрыв.
Функция не определена в точке но существуют конечные односторонние пределы в данной точке и они равны, то есть
–нет, но
конечные числа.
Пример 3.24.Функция имеет устранимый разрыв в точке
так как
нет, а
Если на основании этой функции определить новую функцию
тоона будетнепрерывнойвточке
2. Разрыв первого рода.
Если конечные левосторонний и правосторонний пределы функции в точке не равны,тофункция в точке
имеет разрыв первого рода.
Пример 3.25.Знаковая функция
в точке имеет разрыв первого рода, так как
(см. рис. 3.3).
3. Разрыв второго рода.
Если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке бесконечный, или в точке
вообще нет никакого предела, то функция имеет в точке
разрыв второго рода.
Пример 3.26.Функция ,например, в точке
имеет разрыв второго рода или бесконечный разрыв, так как
.А, например, функция
в точке
вообще никакого предела не имеет. Она в точке
терпитразрыв второго рода.
Пример 3.27.Исследовать на непрерывность функцию (рисунок 3.6)
Решение.Проверим условие непрерывности в точках и
1.
(3.17)
Как видно из (3.17), в точке выполняется условие непрерывности, то есть в этой точке функция непрерывна.
2.
(3.18)
(3.18) указывает на то, что в точке функция терпит разрыв I рода.
Дата добавления: 2021-05-28; просмотров: 356;