Несобственные интегралы первого рода (по бесконечному промежутку).
Определение: Пусть функция непрерывна на промежутке , тогда очевидно, что при любом имеет смысл интеграл . Будем расширять промежуток , увеличивая . Тогда, если существует предел:
, то этот предел называется несобственным интегралом от функции по бесконечному промежутку и обозначается .
Отметим, что если указанный предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся (говорят, что он сходится). В противном случае (если предел бесконечен или не существует) говорят, что расходится.
Аналогично вводится понятие несобственного интеграла по промежутку .
Определение: Несобственный интеграл определяется как следующая сумма несобственных интегралов:
= + .
Отметим, что легко показать, что так определенный интеграл не зависит от выбора точки . Этот интеграл называется сходящимся, если сходящимися являются интегралы и , в противном случае он называется расходящимся.
Примеры:
1. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
а) = = = =
= = =
б) = = = = (интеграл расходится)
в) = = = Поскольку последний предел не существует, то интеграл расходится.
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 2181;