Вычисление длины дуги кривой L, заданной в полярной системе координат.
Пусть кривая L задана в полярной системе координат:
.
Тогда L=
= =
= .
Длина дуги кривой в полярной системе координат L= .
Пример: Вычислить длину кардиоиды .
В силу симметричности кривой вычислим ½ длины.
½L= .
= =
= = = = =
= =
½L= = =4(1-0)=4 ÞL=4∙2=8.
Дифференциал дуги.
Пусть в формуле L= для длины дуги нижняя граница остается постоянной, а верхняя граница изменяется. Чтобы подчеркнуть это, обозначим верхнюю границу буквой x, а переменную интегрирования – буквой t. Учтем, что длина дуги L есть функция верхней границы, тогда получим:
Согласно теореме о производной интеграла по верхней границе эта функция дифференцируема, и ее производная находится по формуле:
Отсюда дифференциал дуги dL или, в сокращенной записи, dL= dx. Так как , то dL= , или dL=
Учитывая полученный результат и то, что дифференциал функции равен приращению ординаты касательной, приходим к следующему геометрическому смыслу дифференциала дуги: дифференциал дуги dL равен длине отрезка касательной от точки касания с абсциссой x до точки с абсциссой x+dx.
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 2542;