Распределение Бозе и Ферми
Квантовая статистика невзаимодействующих тождесвенных частиц
Большое каноническое распределение
Было (1)
(20 - стр 83)
ξ- больш стат сумма
Ω=-PV - бошльшой термодин потенц
В квантовой статистике (анологично-тому что было для канон распр)
и далее (2)
(3)
(из усл нормировки), или, вводя Ω=-kTlnξ (4)
Ω(T,μ,N) и можно проверить что согласуется с ТД
(2`)- верть того что сист содержит Т частиц и наход в iом кв сост, энерг сист ЕNi
Распределение Бозе и Ферми
Рассмотрим идеальный газ тождественных микро частиц(Эл-ов атомов, ат ядядер..)Возможные сост кажд частицы характ дискретным набором квантовых чисел этот набор будем обозначать(характеризовать) вектором К и этому квантовому сост соотв енерг ε(к) (одной частицы) (анолог с излуч только не векторный потенц, а волн ф-я, тогда в сосуде с V=L3 одночастичное сот для одноатомного газа) опред набором 3х чисел {nx ny nz} – kдля элементов в атомах: U(гл кв числа) lазимутальное m магнитное s спиновое
Пусть в ком сост. находится Nk частиц то N=∑k Nk ; (5)
Вся статистика теперь опр-ся числами заполнения Nk
(5) в (2) имеем
(6)
т.е. произведение множителей последний из которых зависит от числа частиц Nk в состоянии кэнер
(7)
и не зависит от др чисел заполнения
нормировка
(8)
здесь суммирование ведется по возможному числу частиц Nk в сост к
вычислим среднее число частиц в сост к
(9)
Для бозонов Nk=0 1 2 3 может быть любым
Под логарифмом в (9) – геом прогрессия со знаменателем эта прогрессия сходится только при μ≤0!!! (εк>0) и (10`)
(10) – распр-е Бозе- Эншт
Для фермионов спин принимает только 2 знач (0;1) (принцип запрета Паули) то
(11`)
(11)
распределение Ферми Дирака – 1926.г
отличие между (10) и (11) – только знак перед 1
Заметим это(чисто формально),что при μ<0 |μ| >>1 (больше отрицательного μ) распределение Бозе и Ферми переходит в М-Б
(12) хим потенциал μ играет роль нормировочной константы. Из (12) видно, что ср число частиц в сост к Nk<<1 (μ<0) и частицы достаточно редко расположены в фазовом пр-ве
В квазиклас прибл. Кв сост в фаз.пр-ве опр-ся (как помним) ячейкой пр-ва с V=(2пћ)3=h3
Этой ячейке соотв (2S+1)-состояний отличающихся спином(спиновое вырожд)
Разберемся с конст в (12)в классике было:положимUk=0
(13)
среднее число частиц в ячейке dpdrпри это энерг εк=p2/2m найдем теперь
свободную энергию вычислим
F=-NkTlnV-3/2NkTln(2пmkt) +3NkTln(2пћ)+kTNlnN-kTN
Отсюда
(14)
сравним теперь (12) и (14) с (13)- видим:
(15)
число квантовых состоян ий в элементарной ячейке μ пр-ва – сходятся при учете вырождения Nk уменьш в (2S+1) раз Nk<<1
<<1(16)
Вспомним:λ=2пћ/mv=h/mV длинна волны Де Броиля
тепловая скорость(средняя)
то
-тепловая длинна волны Де броиля
V/N=1/n=l3
l- межчастичное расстояние, n-плотность. Тогда(16)
(17) – условие классического приближения или не вырожденного газа - длинна волны Де Бройля мала по сравнению с раст м-ду частицами из (17) м-но ввести Твырожд
(18)
при Т>>Tвыр - класика
при T≤Tвыр –кв эффекты!!! Газ вырожд
Примеры
1)воздух при нормальной концентр N/V~10191/sm3 m=μ/N* 30/6*1023~5*10-23
μ-молярная масса
(19)Твырожд=(6.6*10-27*10 13)2/(1.38*10-16*5*10-23)=6*10-2K
2) электронный га в молек
N/V~5*10 221/sm3 m 10-27г
Tвыр=8*104 K
1) плазма
1)утс N/V~1016 Tвыр=1.3*10-3K м~4*104
2)ионосфера N/V~106 Tвыр стрем к 0
3)п\п N/V~1016 Tвыр=5К
Дата добавления: 2021-05-28; просмотров: 283;