Интерполяция при помощи полиномов Лагранжа

Воспроизводящая функция в большинстве случаев рассчитывается по формуле: , где − некоторые функции. Эти функции обычно стремятся выбрать так, чтобы

. (2.14)

В этом случае , т.е. значения воспроизводящей и исходной функций совпадают в моменты взятия отсчетов или, как принято говорить, в узлах интерполяции.

Функции, обладающие этим качеством, нашел выдающийся французский математик и механик Жозеф Луи Лагранж (1736-1813).

Функции Лагранжа L зависят от одного аргумента t и двух параметров – n и k. Здесь n – максимальный номер отсчета, а k – номер функции.

(2.15)

Несложно доказать, что функции Лагранжа отвечают условию (2.14). Из формулы (2.15) следует, что функция Лагранжа является полиномом n-ой степени. Воспроизводящая функция по этой причине также является полиномом и называется полиномом Лагранжа n-ой степени.

Полином Лагранжа можно использовать для расчета воспроизводящей функции как при равномерной, так и при неравномерной дискретизации. Если же ограничиться только равномерной дискретизацией, полином Лагранжа можно преобразовать к виду: