Примеры с решениями
Пример 1. Функция задана неявно уравнением
Найти .
Решение. Поскольку у является функцией от х, будем рассматривать y³ как сложную функцию от х, следовательно, . Продифференцировав по х обе части заданного уравнения, получим:
Ответ: .
Пример 2. Найти производную функции .
Решение. В данном примере при нахождении производной удобно от явного задания функции перейти к неявному. Прологарифмируем обе части равенства, задающего функцию (при этом обычно используют натуральный логарифм):
Используя свойства логарифмов, позволяющее показатель степени вынести множителем за знак логарифма, получим неявно заданную функцию у в форме,
удобной для дифференцирования:
Продифференцируем по х обе части полученного уравнения.
Выразим y′, домножив обе части этого уравнения на
Ответ:
Производную от логарифма функции называют логарифмической производной.
Пример 3. Найти производную функции
.
Решение. Отметим, что данная функция на своей области определения принимает положительные значения. Воспользуемся логарифмической производной и свойствами логарифмов:
из этого равенства найдём ,умножив обе его части на
.
Ответ: .
Пусть у есть функция от аргумента x:
(1)
Задавая значения , по формуле (1)будем получать соответствующие значения . Можно, однако, считать у независимой переменной, а x – зависимой, задавать значения у и вычислять соответствующие им значения x. И если каждому значению у будет соответствовать единственное значение x, то равенство (1)можно рассматривать как неявное задание функции х от аргумента у. Такая функция называется обратной по отношению к данной функции у. Если уравнение (1)разрешить относительно х, получим явное выражение обратной функции, её обозначают
И для всех допустимых значений у будет выполняться равенство
(2)
которое можно рассматривать как уравнение, задающее функцию неявно.
Для вычисления производной функции продифференцируем уравнение (2) по у:
Откуда или , если
Таким образом, для дифференцируемой функции с производной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной
данной функции.
Пример 4. Вывести формулу производной функции
Решение. Рассмотрим функцию ,где , .
Обратная к ней функция имеет вид , причём при . Воспользовавшись правилом дифференцирования обратной функции, получим
Поскольку cos y > 0 для всех , то, учитывая, что , получаем , при . Следовательно:
т.е. , где
Ответ: , где .
Пример 5.Вывести формулу производной функции, обратной к функции .
Решение. Дана функция , её производная , для всех ,следовательно, функция на всей действительной оси монотонно возрастает и имеет обратную функцию, обозначаемую .
Уравнение задаёт эту обратную функцию неявным образом. Продифференцируем обе части по х: , откуда .
Из соотношения выразим , а поскольку для всех , тополучим , где .
Таким образом, .
Итак, формула производной функции, обратной к гиперболическому синусу, имеет вид:
Ответ: .
Дата добавления: 2017-01-08; просмотров: 1407;