Примеры с решениями

Пример 1. Найти для функции пользуясь определением производной.

Решение. Пусть – приращение аргумента. Найдем соответствующие ему приращение функции в точке x = 2:

Воспользуемся определением производной:

Ответ:

Пример 2. Найти для функции в точке х = 0.

Решение. Пусть – приращение аргумента. Найдем соответствующее ему приращение функции в точке x = 0:

Воспользуемся определением:

Ответ: .

Заметим, что функция не имеет производной в точке x=0, так как

С геометрической точки зрения значение производной функции в точке x₀ представляет собой угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке M₀ (x₀; f(x₀)), т.е. , где – угол наклона касательной к оси Оx.

Уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x₀ , имеет вид:

. (2)

Уравнение нормали к графику той же функции в точке с абсциссой x₀:

(3)

если .

Если в точке x₀ функция имеет бесконечную производную, т.е. или или , то касательная к графику этой функции в точке с абсциссой x₀ перпендикулярна оси

Уравнение касательной в этих случаях имеет вид: x = x₀, а уравнение нормали – . Если же , то уравнение нормали: x = x₀.

Углом между кривыми и называется угол между касательными, проведёнными к этим кривым в точке их пересечения

(4)

если .

Если же , то касательные перпендикулярны и .

Пример 3.Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой x₀ = 2.

Решение. Воспользуемся уравнениями касательной (2) и нормали (3).

В эти уравнения надо поставить x₀ = 2; и найденное в примере 1 значение . Получим уравнение касательной: и уравнение нормали:

Ответ: – уравнение касательной;

– уравнение нормали.

Пример 4. Пользуясь определением, найти значение производной функции в точках

Решение. Выведем формулу производной функции в любой точке , пользуясь определением. Зададим аргументу приращение и найдем соответствующее ему приращение функции:

Итак, . Вычислим значения производной в указанных точках:

Ответ:

Если при прямолинейном движении точки задан закон движения то скорость движения v в момент времени t₀ есть производная по времени: , а ускорение а в момент времени t₀ определяется производной скорости движения по времени: