Переходные процессы в линейных цепях.

Введение.

В электрических цепях могут происходить включения и выключения пассивных и активных ветвей, короткие замыкания отдельных участков, различного рода переключения, внезапное изменение параметров и т.д. Такие изменения, называемые коммутационными изменениями, являются причиной перехода цепи из одного установившегося состояния к другому. Если к источнику подключаться цепь, ни один участок которой не обладает сколько-нибудь заметной индуктивностью или емкостью, в цепи практически мгновенно устанавливаться тот режим, который был изучен в главе 2. Но если хоть один участок цепи обладает индуктивностью или емкостью, токи и напряжения во всех участках цепи достигают своих новых, установившихся, значений постепенно. Процесс перехода цепи из одного установившегося режима к другому, называется переходным процессом, а сопутствующие ему токи и напряжения на отдельных участках цепи - переходными напряжениями и токами. Причина этого явления заключается в том, что возникновение электрического поля в емкости и магнитного поля в индуктивности связано с накоплением в этих полях определенных количеств энергии, а это накопление не может происходить мгновенно. Так, накопление в электрическом поле конденсатора запаса энергии СU²/2 требует сообщения ему заряда q=CU. Если конденсатор должен получить этот заряд в момент коммутации мгновенно, то ток в цепи i=CdU/dt¦t=0 должен быть бесконечно велик и в цепи, всегда имеющей конечное сопротивление, не будет соблюдаться второй закон Кирхгофа. При накоплении запаса энергии LI²/2 в магнитном поле индуктивного участка цепи ток должен измениться от 0 до I. Если допустить, что в такой цепи в момент коммутации изменение тока происходит мгновенно, то напряжение на индуктивности Ldi/dt¦t=0 будет равно бесконечности и в цепи не будет соблюдаться второй закон Кирхгофа. Вышеуказанное позволяет сформулировать основные законы коммутации:

1. В любой ветви с индуктивностью ток в момент коммутации сохраняет то значение, которое он имел до коммутации, и дальше начнет изменяться именно с этого значения

(5.1)

2. В любой ветви напряжение на емкости сохраняет в момент коммутации то значение, которое оно имело до коммутации, и дальше начнет изменяться именно с этого значения

(5.2)

Здесь uC(0-) и iL(0-) - напряжение на емкости и ток на в индуктивности в момент времени непосредственно перед коммутацией, uC(0+) и iL(0+) - соответственно в момент времен непосредственно следующий за коммутацией.

Основой при расчете переходных процессов служат дифференциальные уравнения, составленные для конкретной электрической цепи в соответствии с законами Кирхгофа. Важно сразу отметить, что для линейных цепей с сосредоточенными параметрами, все уравнения являются линейными с постоянными коэффициентами. Примем, что коммутирующие устройства - ключи - являются идеальными.

Решение линейных дифференциальных уравнений при заданных с исчерпывающей полнотой начальных условиях часто удобно представлять в виде суммы двух функций (принцип суперпозиций)

(5.3)

из которых первая функция f₁(t) представляет собой частное решение заданного дифференциального уравнения, а вторая f₂(t) - общее, удовлетворяет однородному уравнению (правая часть равна нулю). Частное решение выражает принужденный режим, задаваемый источником. Если источник есть постоянная величина или периодическая функция времени, тогда такой режим будет одновременно и установившемся. Общее решение выражает поведение цепи при отсутствии внешних источников. Функции, определяющие общее решение, называют свободными составляющими. Все сказанное можно с учетом (5.3) отразить в общепринятой форме запаси, например, для переходного тока i=i_Cв+i_Пр напряжения u=u_Св+u_Пр и сразу подчеркнуть, что законом коммутации должно удовлетворять только полное решение.

Переходные процессы будем исследовать классическим методом, который заключается в интегрировании дифференциальных уравнений, связывающих токи и напряжения цепи. В результате интегрирования появляться постоянные, которые определяются из начальных условий. Начальными условиями называют значения действующих токов в индуктивностях и напряжений на емкостях, т.е. те величины, которые в момент коммутации (t=0) не изменяются скачком.

Начнем изучение переходных процессов с расчета простейших цепей, содержащих резисторы и только один реактивный элемент, т.е. индуктивность или емкость.