Действующие значения несинусоидальных величин.

Под действующими значениями несинусоидальных ЭДС, токов и напряжений, как и для синусоидального тока, понимается их среднеквадратичное значение за период. Так, действующее зна­чение несинусоидального тока:

(4.1)

где

После интегрирования получаем:

где I₁, I₂, I_k — действующие значения токов первой, второй, k-й гармоник, т.е.

; ;

Следовательно, действующее значение несинусоидального тока практически определяется как корень квадратный из суммы квадратов постоянной составляющей и действующих значений всех последующих гармоник. Аналогично действую­щие значения ЭДС и напряжений

.

Действующие значения несинусоидальных напряжений и то­ков измеряются приборами электродинамической, электромаг­нитной и электростатической систем.

Пример 4.1. Определить действующее значение несинусоидального напряжения Решение.

4.3.3. Средние значения несинусоидальных величин.

Существуют следующие понятия средних значений несинусоидальных токов, ЭДС и напряжений.

Среднее значение несинусоидального тока за период, которое рав­но его постоянной составляющей:

Среднее значение по модулю несинусоидального тока за период:

Таким же образом может быть осуществлена запись средних зна­чений несинусоидальных ЭДС, напряжений.

Средние значения несинусоидальных напряжений и токов изме­ряются магнитоэлектрическими приборами без выпрямителя, средние значения по модулю — магнитоэлектрическими приборами, с выпрями­телем.

4.3.4 Коэффициенты, характеризующие несинусоидальные вели­чины.

Формы периодических несинусоидальных кривых могут характе­ризовать следующие коэффициенты (в скобках приведены значения коэффициентов для синусоидальных токов).

1. Коэффициент амплитуды

2. Коэффициент формы

3. Коэффициент гармоник

4.Коэффициент среднего значения

5. Коэффициент искажения

6. Коэффициент пульсации

КоэффициентыК_аи К_фхарактеризуют форму периодических кривых, т. е. их отличие от синусоиды, и используются в силовой элек­тротехнике, радиотехнике и т. д. Коэффициенты К_ги К_иявляются пока­зателями качества электрической энергии энергосистем. В энергетиче­ской электронике при оценке результатов преобразования переменного синусоидального тока в постоянный используются коэффициентыК_ср и К_п .

4.4. Понятие о расчете активной и полной мощности линейных электрических цепей при несинусоидальных напряжениях и токах.

Для электрических цепей при несинусоидальных напряжениях и токах мгновенная мощность определяется как: p(t)=u(t)^.i(t). Активная мощность, как и длясинусоидального то­ка,есть среднее значение мгновенной мощности за период:

После подстановки значений u(t) и i(t), имеющих одина­ковый гармонический состав, получим:

Следовательно, активная мощность при несинусоидальных на­пряжениях и токах равна сумме активной мощности по­стоянных составляющих и активных мощностей всех гармони­ческих составляющих тока и напряжения. Полная мощность:

S=UI

где U иI — действующие значения несинусоидальных напряже­ния и тока.

Пример 4.2. Определить активную и полную мощности линейной электрической цепи при несинусоидальных напряжении u(t) и токе i(t) :

Решение: Активная мощность

P = U₀I₀ + U₁I₁coṣφ₁ + U₃I₃cosφ₃ = 30*10 + 25,9/√2*3/√2*cos[-11˚40 ́-(-40˚)] ++ 6/√2*0,9√2/√2*cos(53˚50 ́ – 125˚) ≈ 336 Вт

Полная мощность:

S = UI

Действующие значения напряжения и тока

;

Следовательно, S = 35,3 • 10,3 = 363,6 В • А.

4.5 Анализ линейных электрических цепей при несинусоидальном напряжении источника питания.

Известно, что к линейным электрическим цепям применим метод наложения. В соответствии с этим запись периодическо­го несинусоидального напряжения источника энергии рядом Фурье дает возможность представить его несколькими после­довательно соединенными и одновременно действующими ис­точниками ЭДС или напряжений и осуществлять анализ элек­трического состояний цепей на основе метода наложения.

Например, рассмотрим электрическую цепь (рис. 4.5 а), в кото­рой к источнику с несинусоидальной ЭДС подключены последовательно резистивный, индуктивный и ем­костной элементы.

С учетом вышесказанного, в рассматриваемой электриче­ской цепи ЭДС e(t) может быть представлена тремя ЭДС (рис. 4.5.б).

Графики E_o(t), а также e₁(t) и e₂(t) изображены на рис. 4.6. В соответствии с методом наложения данная электри­ческая цепь рассчитывается как цепь, в которой действуют три независимые ЭДС. При этом определение тока и напряжений от ЭДС Е_о осуществляется, как при расчете цепей постоянного тока, а от ЭДС e₁(t) и e₂(t) — как при расчете цепей синусоидально­го тока.

При расчете цепи от ЭДС e₂(t) и ЭДС более высших гар­моник необходимо производить пересчет значений X_l и X_c, так как они зависят от частоты

X_Lk= kωL; X_Ck= 1/kωC

В анализируемой электрической цепи постоянная соста­вляющая ЭДС не вызывает установившегося тока, так как сопротивление емкостного элемента при постоянном токе рав­но бесконечности.

Определяем ток и напряжение в электрической цепи с ЭДС e₁(t) и e₂(t).

Для первой гармоники

,

где ;

В общем случае , тогда ,

а для первой гармоники ;

Для второй гармоники ;

Где ;

;

;

Напряжение U_r, резистивного элемента совпадает по фазе с током цепи и в общем случае:

, а так как , то т.е. ,

где

Аналогично могут быть определены значения u_L и u_C :

;

.

Определение гармонических составляющих токов i₁ и i₂, а также напряжений U_r, U_L и U_C можно также осуществить с ис­пользованием комплексных чисел.

Пример 4.3. Несинусоидальная ЭДС - е(t) линейной электрической цепи рис. 4.6.а, изменяется по закону е(t)= 200 + 180sin(ωt - 30˚) + 120sin3ωt. Параметры цепи: r = 6 Ом, X_L=ωL= 2 Ом, X_С= 1/ωC=18 Ом. Определить мгновенное, действующее значение тока в цепи и действующее значение напряжения на участке цепи ab.

Решение. По отношению к постоянной составляющей ЭДС Е₀ = 200В сопротивление конденсатора равно бесконечности, т.е. X_C= 1/ωC = 1/ 0∙C= ∞. Следовательно, постоянная составляющая тока I_a= 0,

Расчет первой гармоники:

полное сопротивление цепи

угол сдвига фаз между ЭДС e₁ и током

20΄

так как , то

20΄

амплитуда и действующее значение первой гармоники тока

мгновенное значение тока

действующее значение напряжения на участке ab

Расчет третьей гармоники:

полное сопротивление цепи

т. е. для данной гармоники наблюдается резонанс напряжений, а, сле­довательно, угол сдвига фаз между ЭДС е₃ и током: