Бесконечно-малые и бесконечно-большие величины.

Определение. Функция называется бесконечно-малой в точке , если .

Функция называется бесконечно-большой в точке , если .

Это понятие не применимо к функции «вообще», без указания точки. Не бывает просто «бесконечно-малой функции», бывает только «бесконечно-малая функция в точке». Это свойство поведения функции в конкретной точке. Так, является бесконечно-малой при .

Очевидно, что если беск-малая в точке, то является бесконечно-большой в той же точке.

Пример. Фкнкция является бесконечно малой в точках и 1 и бесконечно большой в точке 2.

Бесконечно малые называются сравнимыми, если существует хотя бы один из пределов или .

Если , причём и , то две функции называются бесконечно-малыми ОДНОГО ПОРЯДКА малости. Кстати, тогда , то есть оба предела равны конечным числам, а не . Если было бы то второй предел был бы .

Если при этом , то есть , то две бесконечно малые называются ЭКВИВАЛЕНТНЫМИЭто частный случай той ситуации, когда они одного порядка.

Пример. .

Если то называется бесконечно-малой более высокого порядка, чем .

Пример. . Функции и одного порядка в точке 0.

Пример. , а также ,

то есть более высокого порядка, чем . И хотя они обе стремятся к 0, но скорость этого процесса кардинально отличается. Если рассмотреть их графики при большом увеличении около начала координат, то парабола почти неотличима от оси 0х.

Третья степень - ещё более высокого порядка, она будет проходить ниже, чем парабола. Как мы видим, хоть и все они стремятся к 0, но эти нули как бы совершенно разной силы.