Свойства эквивалентных бесконечно малых.

1. Если , то .

Доказательство очевидно, то

2. Если и то .

Дано: , . Докажем, что .

= = = 1.

3. Порядок разности двух эквивалентных величин больше, чем порядок малости каждой из них.

Доказательство. Дано: . Докажем, что при делении разности на любую из них предел будет 0, это как раз и означает, что в числителе - более высокого порядка.

= = 1-1 = 0.

4. Порядок малости суммы равен наименьшему из порядков слагаемых.

Доказательство. Пронумеруем так, чтобы 1-е слагаемое было наименьшего порядка. Тогда: = = 1+0+...+0 = 1.

То есть, эта сумма эквивалентна слагаемому наименьшего порядка.

Пример: 1-го а не 3-го порядка малости в точке x = 0.

- 2-го порядка.

А вот если рассматривать предел при , то тогда 8-го порядка. При малых значениях наибольшее влияние на сумму оказывает наименьшая степень, а при бесконечном возрастании - наибольшая степень.

4а. Порядок суммы бесконечно-больших равен наибольшему из порядков слагаемых.

5. Если , и то

то есть этот предел тоже существует, и равен К.

Доказательство. Дано: , , .

Вычислим = = .

Это свойство даёт возможность в дробях фактически заменять более сложные бесконено-малые на более простые, как правило, даже на степенные.

Пример. = = = .

Домножили и поделили, так что первая дробь стала состоять из двух эквивалентных величин, и её предел равен 1. А выглядит это так, как будто в числителе просто заменили на эквивалентную .