Двумерные случайные величины.

Часто приходится решать задачи, в которых рассматриваются события, описываемые не одной, а несколькими — в частности, двумя случайными величинами. Так если станок-автомат штампует цилиндрические валики, то диаметр валика и его высота , образуют систему двух случайных величин .

Двумерной случайной величиной называют систему из двух случайных величин , для которой определена вероятность совместного выполнения неравенств и , где x и y - любые действительные числа.

Функция двух переменных

(3.17)

определенная для любых x и y, называется функцией распределения системы двух случайных величин .

Будем рассматривать и как декартовы координаты точки на плоскости. Точка может занимать то или иное положение на плоскости . Тогда функция распределения даст вероятность того, что случайная точка попадает в область , изображенную на рис. 3.15.

Двумерная случайная величина называется дискретной, если и - дискретные величины.

Пусть возможные значения и образуют, например, конечные последовательности и . Возможные значения двумерной случайной величины имеют вид , где ; . Обозначим через вероятность того, что :

Функция распределения F(х, у) имеет вид

где двойная сумма распространена на те i и j, для которых x _i< x и y_j < y.

Двумерную случайную величину так же, как и одномерную, можно задавать таблицей. Первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины , а первый столбец — возможные значения . В остальных клетках таблицы указаны соответствующие вероятности, причем их сумма всегда равна единице. В качестве примера рассмотрим двумерную случайную величину, заданную следующей таблицей:

Сумма всех вероятностей

Две дискретные случайные величины и называются независимыми, если для всех пар i, j выполняется соотношение

Пример 1. Две игральные кости бросают по одному разу. Обозначим через число очков, выпавшее на первой кости, а через — на второй; тогда — двумерная дискретная величина. Покажем, что величины и независимы.

Решение: Так как каждая из величин и независимо друг от друга может принимать 6различных значений, то число различных значений двумерной случайной величины равно 36. Все эти значения, очевидно, равновероятны. Поэтому

С другой стороны, и . Таким образом:

Так как вероятность появления равна произведению их вероятностей, то величины независимы.

Двумерная величина называется непрерывной, если существует такая непрерывная неотрицательная функция двух переменных, что вероятность того, что точка содержится в некоторой области плоскости , равна двойному интегралу от функции по области :

(3.18)

Функция называется плотностью распределения вероятностей системы двух величин и . Отсюда, в частности, следует, что если область имеет вид, изображенный на рис. 14, то функцию распределения системы случайных величин можно записать следующим образом:

(3.19)

Непрерывные случайные величины и называются независимыми, если , где и - соответственно плотности распределения вероятностей случайных величин и . В этом случае

Зная функцию распределения F(х,у) двумерной случайной величины , легко найти как функцию распределения, так и плотность распределения каждой из случайных величин и в отдельности.

Действительно, пусть F₁(x) - функция распределения случайной величины . Тогда . Так как в этом случае может принимать любое значение, то ясно, что

Следовательно, запишем:

Дифференцируя последнее равенство по x, согласно правилу дифференцирования интеграла по переменной верхней границе получим:

(3.20)

Аналогичным образом получаем

и, следовательно,

(3.21)

Таким образом, чтобы получить плотность распределения одной из составляющих двумерной случайной величины, надо проинтегрировать в границах от до плотность распределения системы по переменной, соответствующей другой случайной величине.

Пример 2. Двумерная случайная величина имеет плотность распределения

Найти:
1) вероятность р попадания случайной точки в квадрат изображенный на рис. 3.16;

2) функцию распределения F(х,у);

3) плотности распределения каждой величины и в отдельности.

Решение:
1) Вероятность р попадания случайной точки в квадрат изображенный на рис. 3.16, согласно формуле (3.18), равна:

2) Используя соотношение (3.19), находим функцию распределения F(x,y):

3) Плотность распределения случайной величины находим по формуле (3.20):

Аналогичным образом, используя формулу (42), получим

Легко убедиться в том, что случайные величины и независимы, так как

По определению двумерная случайная величина распределена нормально, если плотность распределения системы величин и имеет вид:

где , а R - некоторая постоянная. Можно показать [используя формулы (3.19) и (3.20)], что каждая из величин и распределена нормально:

На доказательстве этого факта мы не будем останавливаться. В частности, если и независимы, то

Отсюда следует, что R=0, и, следовательно:

Нетрудно убедиться в том, что справедливо и обратное утверждение: если R=0, то и — независимые случайные величины.