Дискретные двумерные случайные величины.

Двумерная и многомерная случайная величина

Пусть (W,U, P) – некоторое вероятностное пространство, Х, Y – две случайные величины, определенные в этом пространстве. Пара (Х, Y ) называется двумерной случайной величиной (или двумерным случайным вектором).

Закон распределения двумерной случайной величины может быть задан при помощи двумерной функции распределения.

Функцией распределения двумерной с.в. называется двумерная действительная функция .

Событие означает сокращенную запись события .

Аналогично доказательствам свойств одномерных функций распределений можно доказать следующие свойства двумерных функций распределений.

Обозначим одномерные функции распределения с.в. Х, Y соответственно.

Свойства двумерных функций распределений.

1) ;

2) ;

3) ;

4) F(x, y) не убывает по каждой переменной;

5) F(x, y) непрерывна слева по каждой переменной;

6) .

Дискретные двумерные случайные величины.

Пусть Х, Y – две дискретные случайные величины, имеющие следующие законы распределения соответственно:

p_i·= P(X = x_i) (x₁<x₂< …), p_{· j} = P(Y= y_j) (y₁<y₂< …), .

Двумерная с.в. (Х, Y ) называется дискретной двумерной случайной величиной (или дискретно распределенной двумерной случайной величиной).

Закон распределения двумерной дискретной с.в. может быть задан в виде функции , где .

Если с.в. Х принимает конечное множество значений x₁, x₂, …, x_n , а Y – конечное множество значений y₁, y₂, …,y_m , то закон распределения задают обычно в виде таблицы 6.1. В этой таблице

, .

Заметим, что первая и последняя строки таблицы 6.1 задают закон распределения с.в. Y, а первый и последний столбцы – закон распределения с.в. Х.

Таблица 6.1

	y1	y2	×××	ym	å
x1	p11	p12	×××	p1m
x2	P21	p22	×××	p1m
×××	×××	×××	×××	×××	×××
xn	pn1	pn1	×××	Pnm
å			×××

Непрерывно распределенные двумерные случайные величины

Если функция распределения F(x, y)непрерывна и существует такая неотрицательная интегрируемая функция р(x, y), что выполняется равенство

, (6.1)

то двумерная с.в. (Х, Y ) называется непрерывно распределенной двумерной с.в. (или непрерывной двумерной с.в.). Функция р(x, y) называется плотностью распределения двумерной с.в. (Х, Y ).

Равенство (6.1) позволяет по плотности распределения найти функцию распределения. Следовательно, закон распределения двумерной с.в. может быть задан как при помощи функции распределения, так и при помощи плотности распределения.

Плотность распределения непрерывной двумерной с.в.

Свойства плотности распределения.

1) р(x, y) ³ 0;

2) свойство нормировки ;

3) , если р(x, y) непрерывна в точке (x, y);

4) , , где – плотности одномерных с.в. Х и Y соответственно;

5) , где D – множество на плоскости, имеющая площадь.

Формула 5 означает, что вероятность попадания двумерной с.в. в область D равна двойному интегралу от плотности.

Первое свойство следует из определения плотности распределения.

Свойство нормировки следует из того, что

.

Третье свойство следует из формулы (6.1) по правилу дифференцирования интеграла по верхнему пределу интегрирования.

Четвертое свойство следует из следующей цепочки равеннств:

.

Пятое свойство примем без доказательства.