Теорема сложения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей формулируется следующим образом:

Вероятность суммы двух несовместных равна сумме вероятностей этих событий:

.

Докажем теорему сложения вероятностей для схемы случаев.

Пусть возможные исходы опыта сводится к совокупности случаев, которые мы для наглядности изображения в виде n точек

ЗДЕСЬ ДОЛЖЕН БЫТЬ РИСУНОК.

n - число случаев (всех шаров в уравнении)

m - число случаев благоприятных событию А (число красных шаров)

к - число случаев благоприятных событию В (число зеленых шаров)

Найти вероятность события

,

что будет вынут цветной шар.

;

.

Аналогично эту теорию можно доказать для 3,4 ... n вероятностей.

Для сложения n вероятностей формула имеет вид

Теорема имеет 2 следствия:

Следствие 1. Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице

Доказательство.

Т.к. события образуют полную группу событий, то появление хотя бы одного из них – достоверное событие,

т. е. .

Из теории сложения вероятностей :

Откуда

.

Перед тем как вывести второе следствие теоремы сложения, определим понятие о противоположных событиях.

Противоположными событиями называются два несовместных события, образующих полную группу.

Примеры противоположных событий:

- выпадение герба при бросании монеты;

- выпадение решки

- выпадение не более 5 очков при бросании кости

– выпадение 6 очков

- безотказная работа всех элементов технической системы

- выход хотя бы одного элемента технической системы

– в парти не выявлено не одного бракованного изделия

- в партии имеется хотя бы одно бракованное изделие

- обнаружение не менее двух бракованных изделий в контрольной партии

Е- обнаружение не более одного бракованного изделия

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

.

Это следствие есть частный случай следствия 1. Оно выделено ввиду его большой важности в практическом применении теории вероятностей. На практике весьма часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события чем вероятность прямого события . И этих случаях вычисляют и находят .